Softonic

Kalkulator macierzy odwrotnej

Krok 1 / 2 Macierz kwadratowa
Wyniki

Odwrotnością kwadratowej macierzy A jest macierz A^−1 taka, że A · A^−1 = I. Wpisz macierz kwadratową do 10×10, a kalkulator rozszerzy ją o macierz jednostkową, uruchomi eliminację Gaussa-Jordana z częściowym wyborem elementu głównego i zwróci A^−1 wraz z każdą wykonaną po drodze operacją na wierszach. Jeśli macierz jest osobliwa (det = 0), narzędzie zatrzymuje się i mówi, gdzie redukcja zawiodła.

Jak liczona jest odwrotność

  1. 1

    Wpisz macierz kwadratową

    Ta sama liczba wierszy i kolumn. Od 2×2 do 10×10.

  2. 2

    Narzędzie sprawdza odwracalność

    Najpierw liczy det(A). Jeśli zero, macierz jest osobliwa i nie ma odwrotności.

  3. 3

    Rozszerz o macierz jednostkową

    Tworzy blok [A | I] gotowy do Gaussa-Jordana.

  4. 4

    Zredukuj wierszami do [I | A^−1]

    Każda operacja na wierszach jest zapisywana; prawy blok staje się odwrotnością.

  5. 5

    Zweryfikuj

    Narzędzie mnoży z powrotem A · A^−1 i wyświetla wynik, który powinien być macierzą jednostkową w granicach precyzji numerycznej.

Kiedy odwrotność istnieje

Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(A) ≠ 0. Warunki równoważne:

  • Kolumny są liniowo niezależne.
  • Wiersze są liniowo niezależne.
  • Jądro jest trywialne (tylko wektor zerowy).
  • A ma pełny rząd (rząd = n).
  • Układ liniowy Ax = b ma jednoznaczne rozwiązanie dla każdego b.

Skrót dla 2×2

Dla A = [[a, b], [c, d]]:

A^−1 = (1 / (ad − bc)) · [[d, −b], [−c, a]]

Zamień przekątną miejscami, zaneguj poza przekątną, podziel przez wyznacznik.

Gauss-Jordan na jednym obrazku

Start: [A | I].

Koniec: [I | A^−1].

Operacje na wierszach, które zamieniają A w I, zastosowane do I, zamieniają ją w A^−1.

Dlaczego częściowy wybór elementu głównego ma znaczenie

Bez niego algorytm wybiera bieżący element przekątniowy wiersza jako element główny. Jeśli ten element jest zerowy lub maleńki, dzielenie wybucha. Częściowy wybór wstawia wiersz o największym co do wartości bezwzględnej elemencie głównym, czyniąc obliczenie stabilnym numerycznie.

Sprawdzanie wyniku

Pomnóż A · A^−1. Powinieneś otrzymać macierz jednostkową (w granicach maleńkiego błędu numerycznego). Jeśli widzisz wpisy zauważalnie odbiegające od 1 na przekątnej albo od 0 gdzie indziej, macierz jest bliska osobliwości i odwrotność numeryczna jest niewiarygodna, istnieje w teorii, ale obliczona odpowiedź może być błędna o wiele cyfr.

Rozwiązany przykład 2×2

A = [[4, 7], [2, 6]]

  • det(A) = 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10 (niezerowy, odwracalny).
  • Zamień i zaneguj: [[6, −7], [−2, 4]].
  • Podziel przez 10: A^−1 = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]].
  • Zweryfikuj: A · A^−1 = [[1, 0], [0, 1]]. ✓

Wskazówki

  • Używaj dokładnej arytmetyki dla małych macierzy (2×2, 3×3), aby uzyskać czyste ułamki. Liczby zmiennoprzecinkowe wprowadzają błąd zaokrąglenia nawet dla prostych całkowitych danych wejściowych.
  • Nie odwracaj, by rozwiązać Ax = b w kodzie produkcyjnym. Zredukuj wierszami rozszerzony układ [A | b]; rozwiązywanie jest szybsze i stabilniejsze niż odwracanie i mnożenie.
  • Wskaźnik uwarunkowania. Jeśli cond(A) jest duży (powiedzmy >10^10 w podwójnej precyzji), odwrotność numeryczna jest niewiarygodna, choć istnieje.

Najczęściej zadawane pytania

Osobliwa oznacza, że wyznacznik jest zerowy, co może się zdarzyć, gdy kolumny są liniowo zależne, jedna kolumna jest wielokrotnością innej albo jedna jest sumą dwóch innych. Niezerowe wpisy nie gwarantują niezależności.

Nie. Macierze niekwadratowe mają pseudoodwrotności (Moore-Penrose), które są zdefiniowane dla każdej macierzy, ale nie są prawdziwymi odwrotnościami. Użyj dedykowanego narzędzia do pseudoodwrotności, jeśli go potrzebujesz.

Dla całkowitych danych wejściowych do rozsądnego rozmiaru tak, wyniki pozostają wymierne. Dla liczb zmiennoprzecinkowych lub niewymiernych wpisów kalkulator przełącza się na podwójną precyzję.

Komfortowo do 10×10 w przeglądarce. Powyżej tego użyj biblioteki numerycznej z BLAS.

Błąd zaokrąglenia w arytmetyce podwójnej precyzji. Wpisy mogą być 1.000000000000002 zamiast 1. Dla źle uwarunkowanych macierzy odchylenie może być większe. Jeśli potrzebujesz dokładnych odwrotności, użyj trybu dokładnych ułamków na małej macierzy.

Powiązane narzędzia

Kalkulator wysokości gęstościowej

Oblicz wysokość gęstościową z wysokości ciśnieniowej i temperatury powietrza zewnętrznego. Natychmiastowy wynik w stopach oraz temperatura standardowa ISA, do bezpiecznego planowania startu i wznoszenia.

Kalkulator całki potrójnej

Przybliżaj oznaczone całki potrójne dla liczbowych granic x, y i z metodą punktu środkowego w przeglądarce.

Kalkulator amperogodzin

Oblicz czas pracy i zmagazynowaną energię akumulatora na podstawie amperogodzin, napięcia i prądu obciążenia. Otrzymaj czas pracy w godzinach i minutach oraz energię w watogodzinach i kilowatogodzinach.

Kalkulator okręgu podziałowego otworów

Oblicz PCD, podziałkę kątową i dokładne współrzędne X/Y równomiernie rozmieszczonych otworów, z obrotem, przesunięciem i eksportem CSV.

Kalkulator wiązarów dachowych

Oszacuj pozycje i równy rozstaw wiązarów, wznios i długości połaci z długości budynku, rozpiętości, nachylenia i okapu.

Kalkulator obudowy subwoofera

Oblicz objętość brutto i netto obudowy, odejmij głośnik, wzmocnienia, terminal i tunel albo wyznacz jeden wymiar zewnętrzny.

Narzędzie jest dostępne w innych językach