Kalkulator całki potrójnej
Całki potrójne obliczają objętość, masę i strumień nad obszarami trójwymiarowymi — problemy, w których kartezjański obszar w rodzaju prostopadłościanu ma proste granice, ale bryła między dwiema paraboloidami wymaga starannych decyzji o kolejności całkowania. Ten kalkulator oblicza ∭f(x,y,z) dV w podanych przez ciebie granicach, obsługuje współrzędne kartezjańskie, walcowe i sferyczne oraz pokazuje każdy krok znajdowania funkcji pierwotnej.
Jak obliczyć całkę potrójną
-
1
Wpisz f(x,y,z)
Funkcja podcałkowa. Standardowa notacja: x*y*z, x^2+y^2, sin(x)*cos(y).
-
2
Wybierz układ współrzędnych
Kartezjański (dx dy dz), walcowy (r dr dθ dz) albo sferyczny (ρ² sin(φ) dρ dφ dθ).
-
3
Ustaw granice
Dla każdej z trzech zmiennych — stałe albo funkcje pozostałych.
-
4
Wybierz kolejność całkowania
dzdydx, dxdydz itd. Wybór może dramatycznie uprościć matematykę.
-
5
Zobacz obliczenia krok po kroku
Najpierw całka wewnętrzna, potem środkowa, potem zewnętrzna, z funkcjami pierwotnymi na każdym etapie.
Do czego służą trzy układy współrzędnych
| Układ | Element objętości | Najlepszy do |
|---|---|---|
| Kartezjański | dx dy dz | Prostopadłościany, graniastosłupy, ogólne obszary niesymetryczne |
| Walcowy | r dr dθ dz | Walce, stożki, powierzchnie obrotowe |
| Sferyczny | ρ² sin(φ) dρ dφ dθ | Kule, wycinki sfer, problemy grawitacyjne |
Użycie złego układu zamienia trywialną całkę w koszmar. Kula o promieniu 1 całkowana kartezjańsko ma nieładne granice √(1 − x² − y²); we współrzędnych sferycznych to ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ, czysto i rozdzielnie.
Typowe problemy
- Masa: ∭ρ(x,y,z) dV, gdzie ρ to gęstość.
- Środek masy: ∭x ρ dV / masa całkowita, analogicznie dla y i z.
- Moment bezwładności: ∭r² ρ dV względem wybranej osi.
- Objętość: ∭1 dV — funkcja podcałkowa to 1, co sprowadza się do obliczenia objętości obszaru.
Zmiana kolejności całkowania
Dla obszaru, w którym granicy wewnętrznej nie da się ładnie wyrazić jako funkcji zmiennej zewnętrznej, zamiana kolejności często pomaga. Naszkicuj obszar, zrzutuj na płaszczyznę wewnętrzno-zewnętrzną, której chcesz, i wyprowadź granice na nowo.
Przykład z rozwiązaniem: objętość kuli
We współrzędnych sferycznych, kula jednostkowa {x²+y²+z² ≤ 1}:
V = ∫₀²π ∫₀π ∫₀¹ ρ² sin(φ) dρ dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π [ρ³/3]₀¹ sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π ∫₀π (1/3) sin(φ) dφ dθ
= ∫₀²π (1/3)[-cos(φ)]₀π dθ
= ∫₀²π (2/3) dθ
= 4π/3
Słynne V = (4/3)πr³ wypada w trzech czystych krokach — kartezjańsko ta sama całka to kilka stron.
Zapas numeryczny
Niektóre całki nie mają funkcji pierwotnej w postaci zwartej. Gdy całkowanie symboliczne zawodzi, kalkulator przechodzi na kwadraturę numeryczną, zwracając przybliżoną wartość z oszacowaniem błędu.
Najczęściej zadawane pytania
Najczęściej granice były błędne. Granice całki potrójnej mogą zależeć od zmiennych wewnętrznych, a zła kolejność daje matematycznie różne całki. Najpierw naszkicuj obszar, a potem starannie wyprowadź granice.
Kalkulator przełącza się na metody numeryczne (kwadratura adaptacyjna). Otrzymasz wynik liczbowy z ograniczeniem błędu zamiast wyrażenia symbolicznego.
Sferyczne, gdy obszar ma pełną symetrię 3D względem punktu (kule, stożki z punktu). Walcowe, gdy występuje symetria osiowa (walce, powierzchnie obrotowe wokół osi). Kartezjańskie, gdy nie ma żadnej z nich.
Nie. Wszystkie obliczenia działają w twojej przeglądarce.