Softonic

Kalkulator całki potrójnej

Krok 1 / 4 Całka potrójna

Całki potrójne mierzą wielkości rozłożone w obszarze trójwymiarowym: objętość, masę z funkcji gęstości albo dowolną wartość skumulowaną ∭f(x,y,z) dV. Ten kalkulator daje w przeglądarce przybliżenie metodą punktu środkowego dla prostopadłościennych, liczbowych granic x, y i z, dlatego nadaje się do szybkich sprawdzeń, przykładów dydaktycznych i obszarów w kształcie pudełka.

Jak przybliżyć całkę potrójną

  1. 1

    Wpisz f(x,y,z)

    Użyj składni kalkulatora, np. x*y*z, x^2+y^2+z^2 albo sin(x)*cos(y).

  2. 2

    Ustaw granice liczbowe

    Podaj wartości minimalne i maksymalne dla x, y oraz z. Narzędzie ocenia prostopadłościan w przestrzeni xyz.

  3. 3

    Wybierz kroki na oś

    Suwak ustawia n podziałów na każdej osi, więc oszacowanie używa n³ próbek w punktach środkowych.

  4. 4

    Oblicz przybliżenie

    Każdy mały prostopadłościan jest próbkowany w środku i mnożony przez element objętości ΔxΔyΔz.

  5. 5

    Doprecyzuj i sprawdź

    Zwiększ liczbę kroków i porównaj z prostymi przypadkami albo z wynikiem symbolicznym, jeśli jest dostępny.

Co kalkulator faktycznie oblicza

Wejście Jak jest używane Uwaga praktyczna
f(x,y,z) Wartość próbkowana w każdym punkcie środkowym Funkcje gładkie zwykle zbiegają bardziej przewidywalnie niż ostre piki lub nieciągłości
x min/max, y min/max, z min/max Liczbowe granice prostopadłościenne Granice mogą być ujemne; zamiana minimum i maksimum zmienia znak na tej osi
Kroki na oś Liczba podziałów w każdym wymiarze Nakład pracy rośnie jak n³, więc 60 kroków oznacza 216 000 obliczeń funkcji

To kalkulator numeryczny, a nie integrator symboliczny. Nie znajduje funkcji pierwotnych ani nie wyprowadza nowych granic dla współrzędnych sferycznych i cylindrycznych. Jeśli obszar jest kulą, stożkiem albo inną bryłą krzywoliniową, najpierw przekształć problem do granic i funkcji podcałkowej, które ta prostopadłościenna metoda punktu środkowego może próbkować, albo użyj symbolicznej procedury dla całek potrójnych.

Typowe zastosowania

  • Sprawdzenie objętości: użyj f(x,y,z) = 1 na prostopadłościanie, aby potwierdzić jego objętość.
  • Oszacowanie masy: wpisz funkcję gęstości ρ(x,y,z) i scałkuj ją po granicach liczbowych.
  • Wartość średnia: podziel oszacowanie całki przez objętość prostopadłościanu.
  • Weryfikacja numeryczna: porównaj wynik ręczny lub podręcznikowy z szybkim oszacowaniem obliczeniowym.

Układy współrzędnych i elementy objętości

Układ współrzędnych Typowy element objętości Co warto tu pamiętać
Kartezjański dx dy dz Bezpośrednio odpowiada granicom x/y/z w tym kalkulatorze
Cylindryczny r dr dθ dz Przydatny dla obszarów osiowo symetrycznych, ale czynnik r musi znaleźć się w przekształconej funkcji podcałkowej
Sferyczny ρ² sin(φ) dρ dφ dθ Przydatny dla kul i powłok, ale wymaga przekształconych granic oraz czynnika Jacobiego

Interfejs przyjmuje tylko liczbowe zakresy x, y i z. Idee układów współrzędnych nadal pomagają w ustawieniu zadania, ale końcowe wyrażenie musi pasować do zmiennych i granic próbkowanych przez kalkulator.

Przykład kontrolny: sześcian jednostkowy

Dla sześcianu jednostkowego i f(x,y,z) = x*y*z:

∭_{0≤x,y,z≤1} x*y*z dV
= (∫₀¹ x dx)(∫₀¹ y dy)(∫₀¹ z dz)
= (1/2)(1/2)(1/2)
= 1/8 = 0,125

To dobry test, ponieważ granice są prostopadłościenne, a oczekiwany wynik jest prosty. Jeśli wynik numeryczny jest daleki od 0,125, zwiększ liczbę kroków albo sprawdź składnię wyrażenia.

Wskazówki dotyczące dokładności

Metoda punktu środkowego zwykle poprawia się wraz ze zwiększaniem liczby kroków, ale nadal jest przybliżeniem. Najlepiej działają funkcje gładkie na prostopadłościanie. Funkcje nieciągłe, osobliwości, bardzo wąskie piki albo obszary, które nie są naprawdę pudełkowe, mogą dawać mylące wartości, jeśli problem nie zostanie starannie przeformułowany.

Najczęściej zadawane pytania

Kalkulator używa numerycznej metody punktu środkowego. Więcej kroków oznacza więcej punktów próbkowania, więc dla gładkich funkcji podcałkowych oszacowanie zwykle powinno zbliżać się do stabilnej wartości.

Nie. Ta strona przybliża całki oznaczone na granicach liczbowych. Gdy potrzebujesz funkcji pierwotnych lub kroków algebraicznych, użyj symbolicznego kalkulatora całek.

Nie bezpośrednio. Dane wejściowe to prostopadłościenne zakresy x, y i z. W ustawieniach cylindrycznych lub sferycznych uwzględnij poprawny czynnik Jacobiego i przekształcone granice w metodzie, która obsługuje te zmienne.

Nie. Wszystkie obliczenia działają w Twojej przeglądarce.

Powiązane narzędzia

Kalkulator tralek

Podaj światło między słupkami, szerokość tralki oraz maksymalny dozwolony prześwit, aby uzyskać dokładną liczbę potrzebnych tralek i równy odstęp między każdą szczebliną, bez prześwitu większego niż dopuszczają przepisy.

Konwerter daty juliańskiej

Przeliczaj gregoriańskie daty UTC, datę juliańską, zmodyfikowaną datę juliańską i sekundy Unix z dokładnością do milisekundy i obsługą przesunięcia UTC.

Kalkulator soli do basenu

Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.

Kalkulator mieszanki paliwa i oleju do silników 2-suwowych

Oblicz ilość oleju do benzyny albo ilość paliwa z dostępnego oleju. Obsługuje jednostki metryczne, amerykańskie, brytyjskie i własne proporcje.

Wojskowy kalkulator tkanki tłuszczowej

Oszacuj procent tkanki tłuszczowej metodą taśmy mierniczej armii USA (AR 600-9): wzrost, szyja i talia dla mężczyzn, dodatkowo biodra dla kobiet.

Kalkulator pochylni

Oszacuj długość, nachylenie, kąt, biegi i powierzchnię materiału z wzniesienia, proporcji, szerokości i założenia spoczników.