Kalkulator wyznacznika macierzy

Co mówi ci wyznacznik

• Niezerowy: macierz jest odwracalna; jej kolumny są liniowo niezależne; definiuje bijektywne odwzorowanie liniowe.
• Zerowy: macierz jest osobliwa; kolumny są liniowo zależne; odwzorowanie zwija co najmniej jeden wymiar.
• Znak: dodatni oznacza, że odwzorowanie liniowe zachowuje orientację; ujemny oznacza, że ją odwraca (jak lustrzane odbicie).
• Wartość bezwzględna: |det(A)| to współczynnik, o który odwzorowanie skaluje objętość n-wymiarową. Macierz 2×2 z det 3 skaluje pola o 3; det −2 skaluje pola o 2 i je odwraca.

Małe przypadki: rób je ręcznie

2×2:

det([[a, b], [c, d]]) = a·d − b·c

3×3 (reguła Sarrusa):

det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) dla [[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]].

Większe przypadki: użyj LU

Ręczne obliczenie wyznacznika 4×4 przez rozwinięcie Laplace’a wymaga 4! = 24 mnożeń. 6×6 wymaga 720. Dekompozycja LU redukuje pracę do O(n³): rozłóż A = LU, gdzie L jest dolnotrójkątna z jedynkami na przekątnej, a U górnotrójkątna; wtedy det(A) = det(L)·det(U) = ∏ u_ii.

Właściwości warte poznania

• det(AB) = det(A)·det(B).
• det(A^T) = det(A).
• det(A^−1) = 1 / det(A).
• det(kA) = k^n · det(A) dla macierzy n×n.
• Zamiana dwóch wierszy zmienia znak wyznacznika.
• Dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego go nie zmienia.
• Jeśli dowolny wiersz (lub kolumna) składa się z samych zer, wyznacznik wynosi zero.

Typowe błędy

• Zapominanie o wzorze znaków w rozwinięciu Laplace’a: + − + − + − .... Dopełnienie (i,j) to (−1)^(i+j) razy minor.
• Rozwijanie wzdłuż wiersza z niezerowymi wpisami, gdy istnieje wiersz z trzema zerami. Wybierz wiersz lub kolumnę z największą liczbą zer, by ułatwić pracę.
• Zakładanie, że det(A+B) = det(A) + det(B). Tak nie jest. Wyznacznik jest multiplikatywny, a nie addytywny.