Softonic

Kalkulator granic

Krok 1 / 3 Wartość graniczna
Dalej

Granica funkcji f(x), gdy x dąży do punktu a, opisuje wartość, do której zmierza f(x), niezależnie od tego, czy samo f(a) istnieje. Ten kalkulator wyznacza granice numerycznie i symbolicznie dla wielomianów, funkcji wymiernych, trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych, w tym w punktach ±∞, i mówi, kiedy granica obustronna nie istnieje, ponieważ wartości lewa i prawa się różnią.

Jak obliczyć granicę

  1. 1

    Wybierz rodzinę funkcji

    Wielomian, funkcja wymierna, trygonometryczna (sin/cos/tan), wykładnicza, logarytmiczna lub ich kombinacja.

  2. 2

    Wpisz punkt graniczny a

    Liczba rzeczywista albo użyj ∞ / -∞ dla granic w nieskończoności.

  3. 3

    Wybierz kierunek

    Obustronny (oba), lewy (a⁻) lub prawy (a⁺).

  4. 4

    Odczytaj wynik numeryczny

    Jeśli lewa i prawa się różnią, granica obustronna nie istnieje.

Kiedy granice zachowują się dobrze, a kiedy nie

Większość zadań z analizy na pierwszym roku opiera się na trzech technikach: bezpośrednim podstawieniu, uproszczeniu algebraicznym i regule de L’Hôpitala. Kalkulator stosuje je w tej kolejności i przechodzi do oszacowania numerycznego, gdy manipulacja symboliczna zawiedzie.

Klasyczne wyniki warte zapamiętania

Granica Wartość
lim x→0 sin(x)/x 1
lim x→0 (1 − cos x)/x 0
lim x→0 (1 − cos x)/x² 1/2
lim x→0 (eˣ − 1)/x 1
lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ e
lim x→0⁺ x ln(x) 0
lim x→∞ ln(x)/x 0
lim x→∞ (wielomian)/eˣ 0

Kiedy granica obustronna zawodzi

Trzy wzorce powodują „nie istnieje“:

  • Nieciągłość skokowa. f(x) = sign(x) w x = 0: lewa → -1, prawa → +1.
  • Asymptota pionowa z przeciwnymi znakami. f(x) = 1/x w x = 0: lewa → -∞, prawa → +∞.
  • Oscylacja. f(x) = sin(1/x) w x = 0: wartości oscylują między -1 a 1 dowolnie blisko punktu.

Granice jednostronne mogą istnieć tam, gdzie obustronne nie istnieją. Kalkulator raportuje każdą stronę osobno, abyś widział rozbieżność.

Reguła de L’Hôpitala: używaj ostrożnie

Gdy podstawienie daje 0/0 lub ∞/∞, oddzielne różniczkowanie licznika i mianownika często to rozwiązuje. Ale reguła wymaga:

  • Obie granice (licznika i mianownika) muszą rzeczywiście wynosić 0 albo obie ∞.
  • Iloraz pochodnych musi sam mieć granicę.
  • Funkcje muszą być różniczkowalne w pobliżu punktu.

Błędne zastosowanie reguły de L’Hôpitala do postaci nieoznaczonej daje złe odpowiedzi. Zawsze najpierw potwierdź postać.

Numerycznie kontra symbolicznie

Kalkulator używa dokładnej arytmetyki dla prostych postaci algebraicznych (wielomiany, funkcje wymierne). Dla wyrażeń przestępnych wyznacza funkcję w ciągu punktów dążących do a i raportuje wartość zbieżną z dokładnością do 8 miejsc po przecinku. Jeśli ciąg nie jest zbieżny, wynik oznaczany jest jako nieoznaczony.

Najczęściej zadawane pytania

Wartość, do której dąży f(x), gdy x zbliża się tylko z jednej strony a. Lewostronna (x → a⁻) używa wartości poniżej a; prawostronna (x → a⁺) używa wartości powyżej. Granica obustronna istnieje tylko wtedy, gdy obie się zgadzają.

Tak, wpisz ∞ lub -∞ jako punkt graniczny. Dla funkcji wymiernych porównuje stopnie; dla funkcji wykładniczych i logarytmów używa standardowych rankingów asymptotycznych.

Funkcja nie zmierza do jednej skończonej wartości, gdy x zbliża się do punktu. Może się to zdarzyć, ponieważ wartości dążą do nieskończoności, ponieważ lewa i prawa się różnią albo ponieważ wartości oscylują bez zbieżności.

Nie. Wpisywane wyrażenia są parsowane i obliczane w twojej przeglądarce i nic nie jest nigdzie wysyłane.

Powiązane narzędzia

Kalkulator wysokości gęstościowej

Oblicz wysokość gęstościową z wysokości ciśnieniowej i temperatury powietrza zewnętrznego. Natychmiastowy wynik w stopach oraz temperatura standardowa ISA, do bezpiecznego planowania startu i wznoszenia.

Kalkulator amperogodzin

Oblicz czas pracy i zmagazynowaną energię akumulatora na podstawie amperogodzin, napięcia i prądu obciążenia. Otrzymaj czas pracy w godzinach i minutach oraz energię w watogodzinach i kilowatogodzinach.

Kalkulator obudowy subwoofera

Oblicz objętość brutto i netto obudowy, odejmij głośnik, wzmocnienia, terminal i tunel albo wyznacz jeden wymiar zewnętrzny.

Kalkulator wiązarów dachowych

Oszacuj pozycje i równy rozstaw wiązarów, wznios i długości połaci z długości budynku, rozpiętości, nachylenia i okapu.

Kalkulator okręgu podziałowego otworów

Oblicz PCD, podziałkę kątową i dokładne współrzędne X/Y równomiernie rozmieszczonych otworów, z obrotem, przesunięciem i eksportem CSV.

Kalkulator EBITDA

Oblicz EBITDA na podstawie zysku netto, dodając z powrotem odsetki, podatki oraz amortyzację rzeczową i wartości niematerialnych. Poznaj wynik operacyjny, którego inwestorzy i kredytodawcy używają do porównywania spółek.

Narzędzie jest dostępne w innych językach