Softonic

Kalkulator wartości własnych

Krok 1 / 4 Macierz A
Pierwszy wiersz

Skorzystaj z tego kalkulatora wartości własnych, aby rozwiązać rzeczywistą macierz 2×2 na podstawie jej czterech wyrazów. Narzędzie liczy ślad, wyznacznik, wielomian charakterystyczny, wyróżnik i wartości własne, a następnie pokazuje rzeczywiste wektory własne, gdy obie wartości własne są różne i rzeczywiste. Przyda się przy zadaniach z algebry liniowej, przy szybkiej kontroli modeli inżynierskich i przy sprawdzaniu wyniku przed ręczną diagonalizacją małej macierzy.

Jak wyznaczyć wartości własne

  1. 1

    Wpisz wyrazy macierzy

    Uzupełnij a, b, c i d dla macierzy A = [[a, b], [c, d]]. Liczby dziesiętne i ujemne są dozwolone.

  2. 2

    Ułóż równanie charakterystyczne

    Kalkulator korzysta ze śladu T = a + d i wyznacznika D = ad - bc, aby zapisać λ² - Tλ + D = 0.

  3. 3

    Sklasyfikuj pierwiastki

    Wyróżnik T² - 4D rozstrzyga, czy wartości własne to dwie liczby rzeczywiste, jeden pierwiastek podwójny czy para liczb zespolonych sprzężonych.

Wzór dla macierzy 2×2

Dla A = [[a, b], [c, d]] wartości własne są pierwiastkami równania:

det(A - λI) = 0

Po rozwinięciu tego wyznacznika otrzymujemy:

λ² - Tλ + D = 0

Gdzie:

  • T = a + d to ślad.
  • D = ad - bc to wyznacznik.
  • Δ = T² - 4D to wyróżnik (delta).

Zatem:

λ = (T ± sqrt(Δ)) / 2

Przykład krok po kroku

Dla A = [[2, 1], [1, 2]] ślad wynosi T = 2 + 2 = 4, a wyznacznik D = 2·2 - 1·1 = 3. Wielomian charakterystyczny ma postać:

λ² - 4λ + 3 = 0

Wyróżnik wynosi Δ = 4² - 4·3 = 4, więc wartości własne to:

λ₁ = (4 + 2) / 2 = 3

λ₂ = (4 - 2) / 2 = 1

Dla wartości własnej 3 przykładowym wektorem własnym jest [1, 1], a dla wartości własnej 1 wektor [1, -1]. Każda niezerowa wielokrotność skalarna tych wektorów również jest poprawnym wektorem własnym.

Co oznacza wyróżnik

Wyróżnik Δ Przypadek wartości własnych Czego się spodziewać
Δ > 0 Dwie rzeczywiste wartości własne Dwa różne pierwiastki rzeczywiste, a dla macierzy 2×2 dwa niezależne wektory własne, gdy macierz jest diagonalizowalna nad liczbami rzeczywistymi.
Δ = 0 Podwójna wartość własna Jeden pierwiastek podwójny. Przestrzeń własna może mieć wymiar 1 lub 2, więc sprawdź wektory własne osobno, jeśli zależy Ci na diagonalizacji.
Δ < 0 Para zespolona sprzężona Brak rzeczywistych wartości własnych. Pierwiastki mają tę samą część rzeczywistą i przeciwne części urojone.

Częste błędy

  • Błędne zapisanie A - λI. Zmieniają się tylko wyrazy na przekątnej: a - λ i d - λ.
  • Pominięcie znaku w wyznaczniku. Dla macierzy 2×2 mamy D = ad - bc, a nie ad + bc.
  • Uznanie podwójnej wartości własnej za automatycznie diagonalizowalną. Pierwiastek podwójny i tak wymaga wystarczającej liczby niezależnych wektorów własnych.
  • Zbyt wczesne zaokrąglanie. Trzymaj ślad, wyznacznik i wyróżnik w postaci dokładnej tak długo, jak to możliwe, zwłaszcza przy liczbach dziesiętnych.

Najczęściej zadawane pytania

Narzędzie skupia się na rzeczywistych macierzach 2×2. Dzięki temu wynik pozostaje przejrzysty: każda wartość wynika ze śladu, wyznacznika i kwadratowego wielomianu charakterystycznego.

Tak. Jeśli wyróżnik T² - 4D jest ujemny, wartości własne tworzą parę liczb zespolonych sprzężonych. Klasycznym przykładem jest macierz obrotu [[0, -1], [1, 0]].

Kalkulator pokazuje wektory własne dla różnych rzeczywistych wartości własnych, bo wtedy dla każdego pierwiastka da się podać prosty wektor rzeczywisty. Przypadki podwójne i zespolone wymagają dodatkowego kontekstu, dlatego narzędzie ogranicza się tam do wartości własnych i ich klasyfikacji.

Nie ma tu żadnego przesyłania plików. Wyrazy macierzy przetwarza komponent strony, aby wyznaczyć ślad, wyznacznik, wielomian i wartości własne.

Powiązane narzędzia

Kalkulator tralek

Podaj światło między słupkami, szerokość tralki oraz maksymalny dozwolony prześwit, aby uzyskać dokładną liczbę potrzebnych tralek i równy odstęp między każdą szczebliną, bez prześwitu większego niż dopuszczają przepisy.

Kalkulator czasu trwania

Oblicz czas między dwiema godzinami jako HH:MM, godziny dziesiętne, minuty i sekundy.

Kalkulator proporcji

Wpisz trzy wartości w a:b = c:d, aby znaleźć brakujący składnik. Całkowite proporcje a:b są też skracane do najprostszej postaci.

Kalkulator pochodnych wielomianów

Różniczkuj wielomiany takie jak 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7 i sprawdź, jak stałe, współczynniki oraz potęgi przechodzą w f'(x).

Zegar światowy

Porównuj aktualny czas w wielu miastach obok siebie, z automatycznym uwzględnieniem czasu letniego. Przydatne dla rozproszonych zespołów i podróży.

Kalkulator numerologiczny

Oblicz numerologiczne liczby imienia w systemie pitagorejskim lub chaldejskim: ekspresję, pragnienie duszy i osobowość.