Kalkulator trójkąta
Podaj trójkątowi dowolne trzy informacje — trzy boki (SSS), dwa boki i kąt między nimi (SAS), dwa kąty i bok (ASA) i tak dalej — a reszta jest w pełni określona. Ten kalkulator stosuje pod maską twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów i podstawową trygonometrię, by oddać Ci każdy bok, każdy kąt, pole, obwód i diagram w skali, bez sięgania po kalkulator.
Jak działa rozwiązywanie trójkąta
-
1
Wybierz, które trzy wartości znasz
SSS, SAS, ASA, AAS albo skróty dla trójkąta prostokątnego.
-
2
Wpisz znane wartości
Boki w dowolnej jednostce; kąty w stopniach lub radianach.
-
3
Kalkulator stosuje właściwe twierdzenie
Cosinusy dla SSS i SAS; sinusy dla ASA i AAS.
-
4
Uzyskaj każdą inną wartość
Brakujące boki i kąty, pole, obwód, wysokość, promień okręgu opisanego.
Które twierdzenie dla których danych
| Dane | Zastosowane twierdzenie | Uwagi |
|---|---|---|
| SSS (3 boki) | Twierdzenie cosinusów | Musi spełniać nierówność trójkąta |
| SAS (2 boki + kąt między nimi) | Twierdzenie cosinusów | Jednoznacznie określony |
| ASA (2 kąty + bok między nimi) | Twierdzenie sinusów | Trzeci kąt = 180 − suma |
| AAS (2 kąty + bok nieprzyległy) | Twierdzenie sinusów | To samo co ASA po przestawieniu |
| SSA (2 boki + kąt nieprzyległy) | Twierdzenie sinusów | Przypadek niejednoznaczny — 0, 1 lub 2 trójkąty |
Nierówność trójkąta
Dla każdego poprawnego trójkąta o bokach a, b, c: każdy bok musi być mniejszy niż suma pozostałych dwóch:
a + b > c
b + c > a
a + c > b
Dane, które to naruszają, nie tworzą trójkąta — kalkulator oznacza błąd.
Metody obliczania pola
Trzy częste sposoby obliczenia pola trójkąta:
- Podstawa × wysokość / 2 (gdy znana jest wysokość).
- Wzór SAS:
½ × a × b × sin(C)(dwa boki i kąt między nimi). - Wzór Herona:
√(s(s-a)(s-b)(s-c))gdzie s = (a+b+c)/2 (wszystkie trzy boki).
Kalkulator wybiera wzór pasujący do Twoich danych.
Trójkąty prostokątne mają skróty
Dla trójkątów prostokątnych (jeden kąt = 90°):
- Twierdzenie Pitagorasa:
a² + b² = c²(c to przeciwprostokątna). - SOH-CAH-TOA: sin = przeciwległa/przeciwprostokątna, cos = przyległa/przeciwprostokątna, tan = przeciwległa/przyległa.
- Pole = ½ × przyprostokątna₁ × przyprostokątna₂.
Niejednoznaczny przypadek SSA
Dwa boki i kąt nieprzyległy mogą dać 0, 1 lub 2 poprawne trójkąty:
- Jeśli dany bok jest zbyt krótki, by dosięgnąć przeciwległej przyprostokątnej: 0 trójkątów.
- Jeśli dokładnie dosięga (prostopadłe lądowanie): 1 trójkąt prostokątny.
- Jeśli dłuższy niż to, ale krótszy niż bok przyległy: 2 trójkąty (jeden rozwartokątny, jeden ostrokątny).
- Jeśli dłuższy niż bok przyległy: 1 trójkąt.
Kalkulator pokazuje wszystkie rozwiązania, gdy istnieje niejednoznaczność.
Najczęściej zadawane pytania
Bo dany bok może „obrócić się” do dwóch pozycji, które obie tworzą poprawne trójkąty — jeden ostrokątny, jeden rozwartokątny. Twierdzenie sinusów daje dwóch kandydatów na kąt i tylko kontekst może powiedzieć, który obowiązuje (często diagram albo oczywiste ograniczenie geometryczne).
Nierówność trójkąta nie jest spełniona. Kalkulator zwraca błąd wyjaśniający, które ograniczenie jest naruszone. Sprawdź dwukrotnie dane; częstym błędem jest wpisanie złej jednostki.
Domyślnie w stopniach. Przełącz na radiany, jeśli zajmujesz się fizyką lub analizą. Jednostka wpływa tylko na wejście/wyświetlanie; wewnętrzna matematyka używa radianów.
Nie. Wszystkie obliczenia działają w Twojej przeglądarce.