Kalkulator RREF

Co oznacza zredukowana postać schodkowa

Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej, gdy każdy niezerowy wiersz ma wiodącą jedynkę, wiodąca jedynka każdego kolejnego wiersza leży dalej na prawo niż ta w wierszu powyżej, wszystkie pozostałe elementy w jej kolumnie są zerami, a wiersze zerowe znajdują się na dole. Wiodące jedynki są elementami głównymi, nazywanymi też pivotami.

RREF w jednoznaczny sposób ujawnia liczbową strukturę macierzy. Kolumny zawierające elementy wiodące to kolumny bazowe, a pozostałe są kolumnami swobodnymi. Rząd jest liczbą elementów wiodących. Dla macierzy o n kolumnach pokazywany tutaj wymiar jądra wynosi n minus rząd, czyli jest równy liczbie kolumn swobodnych.

Narzędzie numeruje kolumny od 1. Jeżeli wskazuje kolumny bazowe 1 i 3, chodzi o pierwszą i trzecią kolumnę wpisanej macierzy.

Pokazywane operacje na wierszach

Kalkulator używa trzech standardowych rodzajów operacji elementarnych:

• Zamiana dwóch wierszy miejscami.
• Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera.
• Zastąpienie wiersza nim samym pomniejszonym o wielokrotność innego wiersza.

Dla każdej kolumny bazowej kalkulator wybiera spośród pozostałych wierszy kandydat na element wiodący o największej wartości bezwzględnej. To częściowe wybieranie elementu głównego ogranicza ryzyko dzielenia przez małą wartość, gdy dostępna jest większa. Wybrany wiersz trafia na właściwe miejsce, element wiodący jest skalowany do 1, a wartości nad nim i pod nim są zerowane. Lista zawiera stan macierzy po każdej operacji.

Różne poprawne ciągi operacji mogą prowadzić przez inne wyniki pośrednie. Końcowa zredukowana postać schodkowa jest jednak taka sama, z wyjątkiem drobnych efektów arytmetyki o skończonej precyzji.

Przykład liczbowy krok po kroku

Dla domyślnej macierzy

zredukowana postać schodkowa wynosi

Są dwa elementy wiodące, w kolumnach 1 i 3, więc rząd wynosi 2. Kolumna 2 jest swobodna, a wymiar jądra to 3 - 2 = 1. Kalkulator pokazuje dokładny ciąg użytych operacji, a nie wyłącznie macierz końcową.

Rząd, wymiar jądra oraz kolumny bazowe i swobodne

Rząd jest liczbą pozycji wiodących w macierzy zredukowanej. Opisuje wymiar przestrzeni kolumn i jest również równy liczbie niezerowych wierszy w RREF.

Wymiar jądra, nazywany też nullity, to wymiar przestrzeni zerowej macierzy. Dla macierzy m × n o rzędzie r twierdzenie o rzędzie i wymiarze jądra ma postać:

rząd + wymiar jądra = liczba kolumn, czyli r + wymiar jądra = n.

Kalkulator wyznacza te wartości bezpośrednio z redukcji liczbowej. Jeśli nie ma kolumn swobodnych, wymiar jądra jest równy zero. Szeroka macierz prostokątna może mieć kilka kolumn swobodnych, a macierz z wierszami zależnymi lub zerowymi może mieć rząd mniejszy od liczby wierszy.

Zasady wprowadzania i tolerancja numeryczna

Wpisz jeden wiersz w każdej linii. Na polskiej stronie elementy można oddzielać spacjami, średnikami lub pionowymi kreskami. Nie używaj przecinka do rozdzielania wartości, ponieważ jest odczytywany jako separator dziesiętny. Puste linie są pomijane, ale wszystkie niepuste wiersze muszą mieć tę samą długość. Możesz podać liczby całkowite, dziesiętne oraz notację naukową, na przykład 2,5e-3. Każda wartość musi być skończona i należeć do przedziału od -1 000 000 do 1 000 000.

Kalkulator używa arytmetyki zmiennoprzecinkowej. Podczas redukcji wartości o module mniejszym niż 1e-10 są traktowane jak zero. Tolerancja zapobiega wyświetlaniu śladowych błędów zaokrągleń jako fałszywych elementów wiodących. Wyniki dla macierzy bliskich osobliwym warto sprawdzić z precyzją wymaganą na zajęciach lub w danym zastosowaniu.

Czego ten kalkulator nie robi

To reduktor macierzy liczbowych, a nie system algebry symbolicznej. Nie przyjmuje zmiennych, ułamków zapisanych jako wyrażenia, pierwiastków ani wzorów. Nie oblicza wyznacznika ani macierzy odwrotnej, nie tworzy rozwiązania parametrycznego, nie zamienia wierszy w równania i nie rozstrzyga zgodności osobno opisanego układu.

Możesz wpisać liczby ułożone jak macierz rozszerzona, aby prześledzić ich redukcję, lecz narzędzie traktuje wszystkie kolumny jako jedną macierz. Nie rozpoznaje granicy części rozszerzonej ani nie interpretuje ostatniej kolumny jako wyrazów wolnych. Odczytaj RREF i informacje o kolumnach jako wynik macierzowy, a następnie zastosuj reguły właściwe dla swojego zadania z algebry liniowej.