Softonic

Kalkulator twierdzenia Pitagorasa

Krok 1 / 4 Twierdzenie Pitagorasa
Rozwiąż dla

Wpisz dowolne dwa boki trójkąta prostokątnego, a kalkulator wyznaczy trzeci z zależności a² + b² = c². Działa w obu kierunkach: oblicza przeciwprostokątną z dwóch przyprostokątnych albo brakującą przyprostokątną, gdy znasz przeciwprostokątną i drugą przyprostokątną. Pokazuje też kąty wewnętrzne w stopniach i radianach, co przydaje się przy wyznaczaniu kątów na budowie, geometrii ekranów i zadaniach z trygonometrii.

Jak działa obliczenie

  1. 1

    Wybierz nieznany bok

    Wybierz przeciwprostokątną (c) z przyprostokątnych a i b albo brakującą przyprostokątną z przeciwprostokątnej i drugiej przyprostokątnej.

  2. 2

    Podaj dwie znane długości

    Użyj dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych. Oba pomiary muszą być w tej samej jednostce, np. cm, m, cale albo stopy.

  3. 3

    Zastosuj twierdzenie

    Dla przeciwprostokątnej użyj c = √(a² + b²). Dla przyprostokątnej użyj a = √(c² - b²) albo b = √(c² - a²).

  4. 4

    Odczytaj wynik

    Otrzymasz brakujący bok i kąt leżący naprzeciw każdego boku. Kąt 90° zawsze leży między dwiema przyprostokątnymi.

Częste trójki pitagorejskie

Całkowite długości boków spełniające a² + b² = c²:

a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29
9 40 41

Wielokrotności każdej trójki też są trójkami: 6-8-10, 9-12-15 i tak dalej. W budownictwie i majsterkowaniu metoda 3-4-5 działa w dowolnej jednostce, od centymetrów po metry, do sprawdzania kąta prostego. Jeśli przyprostokątne mają 3 i 4 jednostki, a przekątna dokładnie 5 jednostek, kąt ma 90°.

Kiedy twierdzenie ma zastosowanie

  • Tylko trójkąty prostokątne. Jeśli żaden kąt nie ma 90°, użyj twierdzenia cosinusów: c² = a² + b² - 2ab·cos C.
  • Płaska przestrzeń euklidesowa. Twierdzenie działa na płaszczyźnie. Na kuli, np. na powierzchni Ziemi przy dużych odległościach, nie działa bezpośrednio.
  • Odległość w linii prostej. Mierzysz jeden prosty odcinek, a nie trasę łamaną wzdłuż dwóch boków.

Praktyczne zastosowania

  • Budowa, płytki i ogród. Użyj 3-4-5 albo 30-40-50 cm, aby wyznaczyć proste kąty ścian, rzędów płytek i rabat.
  • Przekątne ekranów. Dla ekranu 16:9 przekątna spełnia d = √(w² + h²). Znając przekątną, możesz obliczyć szerokość i wysokość.
  • Sprawdzenie drabiny. Drabina 5 m ustawiona stopą 1,25 m od ściany sięga po ścianie na √(5² - 1,25²) ≈ 4,84 m.
  • GIS na krótkich dystansach. Przy kilku kilometrach przybliżenie płaskie może wystarczyć. Przy setkach kilometrów użyj wzoru geodezyjnego, np. haversine albo Vincenty.

Rozszerzenie do 3D

Dla prostopadłościanu o bokach a, b i c przekątna przestrzenna wynosi √(a² + b² + c²). Wzór powstaje przez dwukrotne użycie twierdzenia Pitagorasa: najpierw dla przekątnej podstawy, a potem dla tej przekątnej i pionowej krawędzi.

Najczęściej zadawane pytania

Tylko dla trójkątów prostokątnych, czyli takich z jednym kątem 90°. Dla innych trójkątów użyj twierdzenia cosinusów, które uogólnia Pitagorasa na dowolny kąt zawarty.

To najmniejsza trójka pitagorejska z bokami całkowitymi. Łatwo wyznaczyć ją taśmą mierniczą i przeskalować do 30-40-50, 6-8-10 albo większych układów.

Tak. Twierdzenie działa dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych, nie tylko dla liczb całkowitych. Pomiary w praktyce często dają wyniki dziesiętne.

Ujemna długość boku nie ma sensu geometrycznego. Kalkulator ją odrzuca. Jeśli wpisano minus przez pomyłkę, usuń go.

Nie w pełni. Ziemia jest zakrzywiona, więc płaskie obliczenie Pitagorasa na setkach kilometrów może różnić się o kilka procent. Do odległości geodezyjnej użyj haversine albo Vincenty.

Powiązane narzędzia

Konwerter daty juliańskiej

Przeliczaj gregoriańskie daty UTC, datę juliańską, zmodyfikowaną datę juliańską i sekundy Unix z dokładnością do milisekundy i obsługą przesunięcia UTC.

Kalkulator procentów

Oblicz procent z wartości, dodaj lub odejmij procent albo znajdź wartość początkową dla danego udziału. Wpisz dwie liczby i zobacz wzory.

Kalkulator soli do basenu

Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.

Kalkulator tralek

Podaj światło między słupkami, szerokość tralki oraz maksymalny dozwolony prześwit, aby uzyskać dokładną liczbę potrzebnych tralek i równy odstęp między każdą szczebliną, bez prześwitu większego niż dopuszczają przepisy.

Kalkulator zaokrągleń

Zaokrąglaj dokładne liczby dziesiętne od 12 miejsc po przecinku po biliony. Porównaj remis do parzystej, od zera, sufit, podłogę i cztery inne tryby.

Kalkulator pochylni

Oszacuj długość, nachylenie, kąt, biegi i powierzchnię materiału z wzniesienia, proporcji, szerokości i założenia spoczników.