Kalkulator pochodnych cząstkowych

Co oznacza pochodna cząstkowa

Pochodna cząstkowa mierzy, jak funkcja wielu zmiennych zmienia się, gdy jedna zmienna się zmienia, a pozostałe pozostają stałe. Dla funkcji f(x, y, z) pochodna ∂f/∂x traktuje y i z jako stałe. To podstawowa reguła działania kalkulatora: różniczkuj tylko wybraną zmienną, przenoś bez zmian wszystkie czynniki z innymi zmiennymi i odrzucaj każdy składnik, który nie zawiera wybranej zmiennej.

Dla składnika wielomianu wciąż obowiązuje reguła potęgowa:

∂/∂x (a * x^m * y^n * z^p) = a * m * x^(m-1) * y^n * z^p

Ten sam schemat działa dla y lub z; tylko wybrana zmienna dostarcza mnożnika równego wykładnikowi.

Rozwiązany przykład

Dla f(x, y, z) = 3x^2y + 4xy^3 - 5z + 7:

Jeśli obliczysz ∂f/∂x = 6xy + 4y^3 w punkcie (x, y, z) = (2, 3, 1), wartość wynosi 6 * 2 * 3 + 4 * 3^3 = 144. Zwróć uwagę, że z nie występuje w tej pochodnej, więc zmiana z nie zmieni tej konkretnej wartości.

Obsługiwana składnia

Kalkulator jest celowo deterministyczny. Obsługuje składniki w postaci wielomianu zmiennych x, y i z: niejawne iloczyny, takie jak 3x^2y, jawne iloczyny, takie jak x*y, współczynniki dziesiętne, takie jak 2,5z, stałe oraz znaki plus lub minus. Nie przetwarza funkcji trygonometrycznych, logarytmów, nawiasów, ilorazów ani dowolnych skryptów. W przypadku szerszych zagadnień symbolicznych traktuj wynik jako szybki sprawdzian wielomianów, a nie pełny system algebry komputerowej.

Częste pułapki

• Zapominanie o regule stałej zmiennej. W ∂/∂x składnik 4xy^3 staje się 4y^3, a nie 12xy^2.
• Gubienie przenoszonych czynników. 3x^2y staje się 6xy; y pozostaje, ponieważ jest stałym mnożnikiem.
• Mylenie pochodnej cząstkowej z pochodną zupełną. Pochodna cząstkowa zmienia jedno wejście naraz. Pochodna zupełna uwzględnia również, jak zmienne zależą od siebie nawzajem.
• Oczekiwanie nieobsługiwanych funkcji. Wyrażenia takie jak sin(xy) lub (x + y)^2 wymagają rozwinięcia lub narzędzia algebry symbolicznej, zanim ten kalkulator będzie mógł je przetworzyć.