Softonic

Kalkulator ciągu geometrycznego

Krok 1 / 3
Dalej

Ciąg geometryczny to lista liczb, w której każdy wyraz jest poprzednim wyrazem pomnożonym przez stałą wartość zwaną ilorazem. Wpisz pierwszy wyraz, iloraz oraz liczbę wyrazów, a ten kalkulator zwróci n-ty wyraz, sumę pierwszych n wyrazów i podgląd samego ciągu. Wszystko aktualizuje się natychmiast w przeglądarce w trakcie wpisywania, więc możesz badać wzorce wzrostu, zaniku i kapitalizacji bez liczenia potęg i pierwiastków na piechotę. Działa z liczbami całkowitymi, dziesiętnymi, ułamkami zapisanymi dziesiętnie oraz ilorazami mniejszymi od 1 dla ciągów malejących.

Jak korzystać z kalkulatora ciągu geometrycznego

  1. 1

    Wpisz pierwszy wyraz i iloraz

    Wpisz pierwszy wyraz (a₁) i iloraz (r). Iloraz większy od 1 sprawia, że ciąg rośnie; iloraz między 0 a 1 sprawia, że maleje.

  2. 2

    Wybierz liczbę wyrazów

    Ustaw liczbę wyrazów (n). Kalkulator znajdzie n-ty wyraz i zsumuje za Ciebie pierwsze n wyrazów.

  3. 3

    Odczytaj wyniki

    Zobacz n-ty wyraz, sumę częściową i podgląd ciągu, wszystko przeliczane na bieżąco podczas zmiany danych.

Wzory

W ciągu geometrycznym każdy wyraz jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez iloraz r. Zaczynając od pierwszego wyrazu a₁:

aₙ = a₁ · r^(n−1)

Suma pierwszych n wyrazów (suma częściowa) wynosi:

Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) dla r ≠ 1

Gdy iloraz jest dokładnie równy 1, wszystkie wyrazy są takie same, więc suma to po prostu Sₙ = n · a₁. Jeśli iloraz leży ściśle między −1 a 1, suma nieskończona jest zbieżna do a₁ / (1 − r).

Przykład rozwiązany

Weź a₁ = 2 i r = 3 oraz poproś o n = 5 wyrazów.

  • Ciąg: 2, 6, 18, 54, 162
    1. wyraz: a₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
  • Suma: S₅ = 2 · (1 − 3⁵) / (1 − 3) = 2 · (1 − 243) / (−2) = 242

Każdy wyraz jest dokładnie 3 razy większy od poprzedniego, a pięć wyrazów sumuje się do 242.

Wyrazy i sumy częściowe w skrócie

n Wyraz aₙ = 2·3^(n−1) Suma Sₙ
1 2 2
2 6 8
3 18 26
4 54 80
5 162 242

Częste błędy

  • Pomyłka o jeden w wykładniku. N-ty wyraz używa r^(n−1), a nie rⁿ: do pierwszego wyrazu iloraz nie został jeszcze zastosowany.
  • Iloraz równy 1. Jeśli wstawisz r = 1 do głównego wzoru na sumę, dzielisz przez zero. Zamiast tego użyj Sₙ = n · a₁; to narzędzie przełącza się automatycznie.
  • Geometryczny czy arytmetyczny. Ciąg geometryczny mnoży przez stały iloraz; arytmetyczny dodaje stałą różnicę. Ich pomylenie daje zupełnie błędne wyrazy.
  • Ujemne ilorazy. Iloraz taki jak −2 sprawia, że znak wyrazów się zmienia (2, −4, 8, −16, …); jest to poprawne, a kalkulator sobie z tym radzi.

Gdzie pojawiają się ciągi geometryczne

Ciągi geometryczne modelują wszystko, co na każdym kroku rośnie lub maleje o stały procent. Procent składany mnoży saldo przez ten sam czynnik w każdym okresie, więc salda tworzą ciąg geometryczny. Wzrost populacji, rozpad promieniotwórczy mierzony w okresach połowicznego zaniku, wysokości odbić upuszczonej piłki oraz roczna amortyzacja składnika majątku – wszystko to podąża tym samym wzorcem. Rozpoznanie ilorazu w rzeczywistych danych pozwala prognozować kolejną wartość, oszacować sumę bieżącą lub ocenić, czy stosuje się wzór na zbieżną sumę nieskończoną, gdy iloraz mieści się między −1 a 1.

Najczęściej zadawane pytania

W ciągu geometrycznym każdy wyraz to poprzedni pomnożony przez stały iloraz (2, 6, 18, …). W ciągu arytmetycznym każdy wyraz to poprzedni plus stała różnica (2, 5, 8, …). Ciągi geometryczne rosną lub maleją wykładniczo; arytmetyczne zmieniają się w stałym tempie.

Użyj wzoru jawnego aₙ = a₁ · r^(n−1). Pomnóż pierwszy wyraz przez iloraz podniesiony do potęgi n − 1. Na przykład 8. wyraz ciągu 2, 6, 18, … to 2 · 3⁷ = 4374. Ten kalkulator robi to natychmiast.

Tak. Iloraz między 0 a 1 (np. 0,5) sprawia, że ciąg maleje w kierunku zera, a ujemny iloraz (np. −2) sprawia, że znaki się zmieniają. Wpisz wartość jako liczbę dziesiętną, a kalkulator poprawnie obsłuży oba przypadki.

Nie. Wprowadzone liczby są wysyłane na serwer wyłącznie w celu wykonania obliczeń. Nie są zapisywane ani wykorzystywane w żadnym innym celu.

Powiązane narzędzia

Kalkulator wysokości gęstościowej

Oblicz wysokość gęstościową z wysokości ciśnieniowej i temperatury powietrza zewnętrznego. Natychmiastowy wynik w stopach oraz temperatura standardowa ISA, do bezpiecznego planowania startu i wznoszenia.

Kalkulator amperogodzin

Oblicz czas pracy i zmagazynowaną energię akumulatora na podstawie amperogodzin, napięcia i prądu obciążenia. Otrzymaj czas pracy w godzinach i minutach oraz energię w watogodzinach i kilowatogodzinach.

Kalkulator procentów

Oblicz procent z wartości, dodaj lub odejmij procent albo znajdź wartość początkową dla danego udziału. Wpisz dwie liczby i zobacz wzory.

Kalkulator zaokrągleń

Zaokrąglaj dokładne liczby dziesiętne od 12 miejsc po przecinku po biliony. Porównaj remis do parzystej, od zera, sufit, podłogę i cztery inne tryby.

Kalkulator pochylni

Oszacuj długość, nachylenie, kąt, biegi i powierzchnię materiału z wzniesienia, proporcji, szerokości i założenia spoczników.

Kalkulator wiązarów dachowych

Oszacuj pozycje i równy rozstaw wiązarów, wznios i długości połaci z długości budynku, rozpiętości, nachylenia i okapu.

Narzędzie jest dostępne w innych językach