Softonic

Kalkulator iloczynu skalarnego

Krok 1 / 3 Iloczyn skalarny
Dalej

Iloczyn skalarny sprowadza dwa wektory do jednej wartości skalarnej, która wyraża, w jakim stopniu wskazują one w tym samym kierunku. Stanowi podstawę podobieństwa kosinusowego w rankingu wyników wyszukiwania, rzutowania w fizyce oraz każdego obliczenia oświetlenia w grafice komputerowej. To narzędzie oblicza iloczyn skalarny dwóch wektorów o tym samym wymiarze (2D, 3D, N-D) i pokazuje cosinus kąta między nimi.

Jak obliczyć iloczyn skalarny

  1. 1

    Wpisz oba wektory

    Wpisz współrzędne oddzielone przecinkami lub spacjami: `3, 4, 5` dla jednego wektora i `1, 2, 1` dla drugiego.

  2. 2

    Dopasuj wymiary

    Wektory muszą mieć taką samą długość. Jeśli wymiary się nie zgadzają, narzędzie zasygnalizuje to przed obliczeniem.

  3. 3

    Zobacz wynik

    Skalarny iloczyn jest pokazany wraz z cosinusem kąta (cos θ) oraz samym kątem w stopniach.

Dwa wzory

Postać współrzędnościowa dla wektorów a = (a1, a2, ..., an) i b = (b1, b2, ..., bn):

a . b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn

Postać geometryczna:

a . b = |a| * |b| * cos(theta)

Oba wyrażenia są równe; przyrównując je, otrzymujemy cos(theta) = (a.b) / (|a| |b|), czyli wzór na podobieństwo kosinusowe.

Co mówi znak

Iloczyn skalarny Znaczenie
Dodatni Wektory wskazują mniej więcej w tym samym kierunku (kąt < 90°)
Zero Wektory są ortogonalne (prostopadłe)
Ujemny Wektory wskazują mniej więcej w przeciwnych kierunkach (kąt > 90°)

Przykład obliczenia

a = (3, 4), b = (1, 2):

  • Iloczyny współrzędnych: 3 × 1 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11
  • |a| = √(9 + 16) = 5
  • |b| = √(1 + 4) = √5 ≈ 2,236
  • cos(θ) = 11 / (5 × 2,236) = 0,9839
  • θ = arccos(0,9839) ≈ 10,3 stopnia

Wektory wskazują niemal w tym samym kierunku, dlatego ich iloczyn skalarny jest duży i dodatni.

Najczęstsze zastosowania

  • Podobieństwo kosinusowe w systemach rekomendacyjnych: jak bardzo podobne są dwa wektory zanurzeń (embeddingów)?
  • Rzutowanie jednego wektora na drugi: proj_b(a) = (a . b) / |b|^2 * b.
  • Praca w fizyce: W = F . d, czyli iloczyn skalarny siły i przesunięcia.
  • Oświetlenie w grafice: iloczyn skalarny normalnej powierzchni i kierunku światła daje jasność rozproszoną (prawo Lamberta).
  • Sprawdzanie ortogonalności: szybko sprawdź, czy dwa wektory bazowe są prostopadłe.

Wskazówki

  • Znormalizuj przed porównaniem. Jeśli interesuje Cię tylko kierunek (podobieństwo), najpierw podziel każdy wektor przez jego długość; wtedy iloczyn skalarny jest wprost równy kosinusowi.
  • Uważaj na wymiar. Iloczyn skalarny wektora 3-wymiarowego z 4-wymiarowym jest niezdefiniowany; uzupełniaj lub przycinaj świadomie, a nie przypadkowo.
  • Stabilność numeryczna. Przy bardzo dużych wektorach akumulacja w liczbach zmiennoprzecinkowych może tracić dokładność; gdy wymiar przekracza kilka tysięcy, użyj podwójnej precyzji lub sumowania Kahana.

Najczęściej zadawane pytania

Iloczyn skalarny zwraca skalar i mierzy, „jak bardzo równoległe” są dwa wektory. Iloczyn wektorowy (zdefiniowany tylko w 3D i 7D) zwraca wektor prostopadły do obu i mierzy, „jak bardzo prostopadłe” one są. Odpowiadają na przeciwne pytania.

Tak, dla dowolnego wymiaru N. Definicja po współrzędnych rozszerza się bezpośrednio i jest codziennie stosowana w uczeniu maszynowym przy wektorach o setkach lub tysiącach wymiarów.

Ponieważ postać geometryczna |a| |b| cos(theta) wynosi zero, gdy cos jest równy zeru, co zachodzi przy kątach 90° i 270°. Dwa niezerowe wektory są ortogonalne dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru.

Wprowadzane współrzędne wektorów są wysyłane na nasz serwer, ponieważ obliczenia odbywają się tam. Nie są przechowywane ani powiązywane z Twoim kontem.

Powiązane narzędzia

Kalkulator soli do basenu

Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.

Kalkulator wysokości gęstościowej

Oblicz wysokość gęstościową z wysokości ciśnieniowej i temperatury powietrza zewnętrznego. Natychmiastowy wynik w stopach oraz temperatura standardowa ISA, do bezpiecznego planowania startu i wznoszenia.

Kalkulator procentów

Oblicz procent z wartości, dodaj lub odejmij procent albo znajdź wartość początkową dla danego udziału. Wpisz dwie liczby i zobacz wzory.

Kalkulator zaokrągleń

Zaokrąglaj dokładne liczby dziesiętne od 12 miejsc po przecinku po biliony. Porównaj remis do parzystej, od zera, sufit, podłogę i cztery inne tryby.

Kalkulator amperogodzin

Oblicz czas pracy i zmagazynowaną energię akumulatora na podstawie amperogodzin, napięcia i prądu obciążenia. Otrzymaj czas pracy w godzinach i minutach oraz energię w watogodzinach i kilowatogodzinach.

Kalkulator mieszanki paliwa i oleju do silników 2-suwowych

Oblicz ilość oleju do benzyny albo ilość paliwa z dostępnego oleju. Obsługuje jednostki metryczne, amerykańskie, brytyjskie i własne proporcje.

Narzędzie jest dostępne w innych językach