Softonic

Kalkulator równań sześciennych

Krok 1 / 3 Rozwiąż ax³ + bx² + cx + d = 0
Dalej

Równanie sześcienne ma ogólną postać ax³ + bx² + cx + d = 0 i zawsze ma trzy pierwiastki w zbiorze liczb zespolonych. Wpisz cztery współczynniki, a kalkulator zwróci je metodą Cardana: trzy pierwiastki rzeczywiste, gdy wyróżnik jest niedodatni; jeden pierwiastek rzeczywisty oraz parę pierwiastków zespolonych sprzężonych, gdy wyróżnik jest dodatni; oraz konfigurację pierwiastka podwójnego, gdy wyróżnik jest równy zeru.

W jaki sposób kalkulator znajduje pierwiastki

  1. 1

    Wpisz współczynniki

    Cztery liczby: a, b, c, d. Współczynnik wiodący a musi być różny od zera – w przeciwnym razie równanie jest kwadratowe, a nie sześcienne.

  2. 2

    Równanie zredukowane

    Kalkulator przesuwa równanie o wartość −b/(3a), aby usunąć człon kwadratowy, uzyskując postać `t³ + pt + q = 0`.

  3. 3

    Sprawdzenie wyróżnika

    Wzór Δ = (q/2)² + (p/3)³ wyznacza ścieżkę rozwiązania: gdy Δ > 0 – jeden pierwiastek rzeczywisty; gdy Δ = 0 – pierwiastek podwójny; gdy Δ < 0 – trzy pierwiastki rzeczywiste wyznaczane za pomocą trygonometrii.

  4. 4

    Przesunięcie z powrotem

    Każdy pierwiastek znaleziony w przestrzeni t jest przesuwany o wartość −b/(3a), aby odzyskać wartość x. Kalkulator zwraca te wartości w porządku malejącym, tam gdzie ma to zastosowanie.

Przypadki wyróżnika i ich znaczenie

Metoda Cardana wybiera jedną z trzech gałęzi w zależności od znaku wyróżnika Δ = (q/2)² + (p/3)³. Geometria wykresu równania sześciennego dokładnie to odzwierciedla.

Tabela przypadków

Wyróżnik Pierwiastki Kształt wykresu
Δ > 0 1 rzeczywisty, 2 zespolone sprzężone Przecina oś x jeden raz
Δ = 0 3 rzeczywiste, co najmniej dwa równe Styka się z osią x w pierwiastku podwójnym
Δ < 0 3 różne pierwiastki rzeczywiste Przecina oś x trzy razy

Przykład rozwiązany

Dla równania x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 (współczynniki: 1, −6, 11, −6):

  • Przesuń o −b/(3a) = 2, aby otrzymać postać zredukowaną: p = −1, q = 0.
  • Δ = (q/2)² + (p/3)³ = 0 + (−1/3)³ = −1/27 < 0, więc obieramy ścieżkę trzech pierwiastków rzeczywistych (trygonometryczną).
  • Wzór trygonometryczny daje trzy różne pierwiastki rzeczywiste x = 1, 2, 3.

Aspekty numeryczne

  • Błąd zmiennoprzecinkowy pojawia się, gdy trzy pierwiastki leżą blisko siebie (niemal potrójny pierwiastek). Wyświetlane pierwiastki mogą różnić się od wartości dokładnych na kilku ostatnich miejscach dziesiętnych.
  • Bardzo małe a sprawia, że b/(3a) staje się duże, co dominuje w obliczeniach i zmniejsza dokładność. Jeśli |a| jest mniejsze niż około 1e-12, rozwiąż zamiast tego jako równanie kwadratowe.
  • Współczynniki całkowite dają najczystszy wynik: pierwiastki wymierne pojawiają się w swoich dokładnych wartościach, z dokładnością do zaokrągleń zmiennoprzecinkowych.

Powiązane równania

  • Kwadratowe: ax² + bx + c = 0. Skorzystaj z Kalkulatora równań kwadratowych – postać zamknięta i prostsza.
  • Czwartego stopnia: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0. Metoda Ferrariego redukuje się do rezolwenty sześciennej; nie jest tu omawiana.
  • Równanie sześcienne zredukowane: ustaw b = 0, aby pominąć przesunięcie i przekazać x³ + px + q = 0 bezpośrednio.

Najczęściej zadawane pytania

Równanie nie jest już sześcienne. W takim przypadku kalkulator odmawia kontynuowania obliczeń – przejdź do Kalkulatora równań kwadratowych dla bx² + cx + d = 0.

W takim przypadku kalkulator zwraca jedyny pierwiastek rzeczywisty. Dwa pozostałe pierwiastki tworzą parę zespoloną sprzężoną, którą wzór Cardana podaje w postaci zamkniętej; jeśli potrzebujesz ich do odpowiedzi symbolicznej, oblicz je jako -x1/2 ± (√3/2) × i × moduł.

Numeryczne implementacje metody Cardana mogą generować reszty rzędu 1e-15 z powodu zaokrągleń zmiennoprzecinkowych. Wszystkie wartości poniżej 1e-10 traktuj jako rzeczywiste; ten kalkulator już odfiltrowuje takie reszty dla gałęzi Δ < 0.

Cztery współczynniki są wysyłane na serwer wyłącznie w celu obliczenia pierwiastków i nie są przechowywane. W widoku krok po kroku współczynniki pojawiają się również w linku do strony.

Powiązane narzędzia

Kalkulator soli do basenu

Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.

Kalkulator procentów

Oblicz procent z wartości, dodaj lub odejmij procent albo znajdź wartość początkową dla danego udziału. Wpisz dwie liczby i zobacz wzory.

Kalkulator zaokrągleń

Zaokrąglaj dokładne liczby dziesiętne od 12 miejsc po przecinku po biliony. Porównaj remis do parzystej, od zera, sufit, podłogę i cztery inne tryby.

Kalkulator wysokości gęstościowej

Oblicz wysokość gęstościową z wysokości ciśnieniowej i temperatury powietrza zewnętrznego. Natychmiastowy wynik w stopach oraz temperatura standardowa ISA, do bezpiecznego planowania startu i wznoszenia.

Kalkulator pochylni

Oszacuj długość, nachylenie, kąt, biegi i powierzchnię materiału z wzniesienia, proporcji, szerokości i założenia spoczników.

Kalkulator mieszanki paliwa i oleju do silników 2-suwowych

Oblicz ilość oleju do benzyny albo ilość paliwa z dostępnego oleju. Obsługuje jednostki metryczne, amerykańskie, brytyjskie i własne proporcje.

Narzędzie jest dostępne w innych językach