Kalkulator liczb zespolonych

Cztery działania

Dla z₁ = a + bi oraz z₂ = c + di arytmetyka wynika wprost z traktowania i jako symbolu, dla którego i² = −1:

• Suma: (a + c) + (b + d)i
• Różnica: (a − c) + (b − d)i
• Iloczyn: (ac − bd) + (ad + bc)i
• Iloraz: pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie z₂: [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²)

Dzielenie jest określone tylko wtedy, gdy mianownik c² + d² jest różny od zera, czyli zawsze wtedy, gdy z₂ nie jest równe 0 + 0i.

Moduł i argument liczby z₁

Moduł to odległość od początku układu do punktu (a, b) na płaszczyźnie zespolonej: |z₁| = √(a² + b²). Argument to kąt, jaki z₁ tworzy z dodatnią półosią rzeczywistą, obliczany za pomocą arcus tangens o dwóch argumentach arg(z₁) = atan2(b, a) i podawany tutaj w stopniach, w zakresie od −180° do 180°.

Przykład rozwiązany

Niech z₁ = 3 + 2i oraz z₂ = 1 + 4i.

Błędy, których warto unikać

• Pomijanie i² = −1. Przy mnożeniu wyraz bd·i² zmienia znak i dołącza do części rzeczywistej; dlatego część rzeczywista iloczynu to ac − bd, a nie ac + bd.
• Dzielenie bez sprzężenia. Nie da się rozdzielić (a + bi)/(c + di) wyraz po wyrazie; najpierw pomnóż przez (c − di)/(c − di).
• Mylenie stopni i radianów. Tutaj argument jest podany w stopniach; wiele języków programowania zwraca z atan2 radiany. Pomnóż przez 180/π, aby przeliczyć.
• Błędy ćwiartki. Używaj atan2, a nie zwykłego arctan(b/a), bo inaczej kąt dla punktów z ujemną częścią rzeczywistą trafi do złej ćwiartki.