Kalkulator uzupełniania do kwadratu
Dla funkcji kwadratowej ax²+bx+c uzupełnianie do kwadratu przepisuje ją jako a(x-h)²+k, ujawniając bezpośrednio wierzchołek paraboli (h, k). Wpisz a, b i c, a kalkulator zwróci postać kanoniczną a(x − h)² + k wraz ze współrzędnymi wierzchołka (h, k). Przydatne do analizy matematycznej, fizyki (ruch pocisku), zadań optymalizacyjnych i zadań domowych z algebry.
Jak działa uzupełnianie do kwadratu
-
1
Wpisz współczynniki a, b, c
Funkcja kwadratowa ax² + bx + c. Podawaj liczby dziesiętne; ułamek taki jak 1/2 wpisuj jako 0,5.
-
2
Wyłącz a z wyrazów x² i x
a(x² + (b/a)x) + c: oddziela stałą od wyrazów z x.
-
3
Dodaj i odejmij (b/(2a))²
Tworzy pełny kwadrat: a(x² + (b/a)x + (b/(2a))²) − a(b/(2a))² + c.
-
4
Sprowadź do postaci kanonicznej
a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a)) = a(x − h)² + k, gdzie h = −b/(2a) oraz k = c − b²/(4a).
Przykład: 2x² + 8x + 5
Krok 1, wyłącz a = 2 z wyrazów z x: 2(x² + 4x) + 5
Krok 2, połowa z 4 to 2, do kwadratu to 4. Dodaj i odejmij 4 wewnątrz: 2(x² + 4x + 4 − 4) + 5
Krok 3, rozdziel na pełny kwadrat i resztę: 2((x + 2)² − 4) + 5
Krok 4, wymnóż przez 2: 2(x + 2)² − 8 + 5
Krok 5, uprość stałą: 2(x + 2)² − 3
Postać kanoniczna: a = 2, h = −2, k = −3 → wierzchołek w (−2, −3).
Wzór ogólny
Dla ax² + bx + c:
- h = −b / (2a)
- k = c − b² / (4a)
- Postać kanoniczna: a(x − h)² + k
Po co uzupełniać do kwadratu?
- Znajdź wierzchołek natychmiast do szkicowania paraboli.
- Rozwiązuj równania kwadratowe bez wzoru kwadratowego, szczególnie przydatne dla pierwiastków niewymiernych.
- Wyprowadź sam wzór kwadratowy: uzupełnienie do kwadratu w ax² + bx + c = 0 daje x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
- Analiza matematyczna: znajdowanie ekstremów funkcji kwadratowych bez liczenia pochodnych.
- Ruch pocisku: maksymalna wysokość rzuconej do góry piłki to k w postaci kanonicznej jej równania wysokości.
- Okręgi i krzywe stożkowe: uzupełnienie do kwadratu zarówno w wyrazach x, jak i y, zamienia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 na (x−h)² + (y−k)² = r², czyniąc środek i promień oczywistymi.
Geometria paraboli z postaci kanonicznej
- Wierzchołek: (h, k).
- Oś symetrii: x = h.
- Ramiona w górę, jeśli a > 0, w dół, jeśli a < 0.
- Wartość maksymalna lub minimalna funkcji: k.
- Szerokość: węższa dla |a| > 1, szersza dla |a| < 1.
- Pierwiastki (jeśli rzeczywiste): x = h ± √(−k/a). Rzeczywiste tylko, gdy k/a ≤ 0.
Częste błędy
- Zapomnienie o wymnożeniu przez a po uzupełnieniu do kwadratu w nawiasie. Wyraz korygujący się zmienia.
- Błędy znaku przy b/(2a): h = −b/(2a), a nie +b/(2a).
- Niepodzielenie środkowego współczynnika na pół przed podniesieniem do kwadratu. „Połowa b przez a, potem do kwadratu” to kanoniczna formuła.
- Pozostawienie ukrytego a ≠ 1: zawsze wyłączaj je najpierw dla uproszczenia.
Przypadek szczególny: a = 1
Gdy a = 1, proces się upraszcza:
- x² + bx + c → (x + b/2)² + (c − b²/4)
- h = −b/2, k = c − b²/4
Ujemne k oznacza pierwiastki rzeczywiste
Jeśli k ma przeciwny znak niż a, parabola przecina oś x. Rozwiąż a(x − h)² = −k, by je znaleźć.
Najczęściej zadawane pytania
Uzupełnianie do kwadratu bezpośrednio odsłania wierzchołek (kształt wykresu), podczas gdy wzór kwadratowy daje pierwiastki. Oba mają swoje zastosowania: pierwiastki, gdy chcesz wiedzieć, gdzie y = 0, postać kanoniczna, gdy chcesz kształt, maksimum, minimum albo oś symetrii.
Wpisuj współczynniki jako liczby dziesiętne; ułamki takie jak 1/2 albo 3/4 podajesz jako 0,5 albo 0,75. Wyniki są liczone ze zwykłą dokładnością zmiennoprzecinkową kalkulatora.
Ta wersja obsługuje funkcje kwadratowe jednej zmiennej. Dla krzywych stożkowych (okręgi, elipsy) w x i y uzupełniaj do kwadratu w każdej zmiennej osobno, proces jest identyczny, zastosowany dwukrotnie.
Postać kanoniczna nadal działa, parabola po prostu nie przecina osi x, więc pierwiastki rzeczywiste nie istnieją. Kalkulator dalej zwraca postać kanoniczną i współrzędne wierzchołka.
Powiązane narzędzia
Konwerter daty juliańskiej
Przeliczaj gregoriańskie daty UTC, datę juliańską, zmodyfikowaną datę juliańską i sekundy Unix z dokładnością do milisekundy i obsługą przesunięcia UTC.
Kalkulator tralek
Podaj światło między słupkami, szerokość tralki oraz maksymalny dozwolony prześwit, aby uzyskać dokładną liczbę potrzebnych tralek i równy odstęp między każdą szczebliną, bez prześwitu większego niż dopuszczają przepisy.
Kalkulator procentów
Oblicz procent z wartości, dodaj lub odejmij procent albo znajdź wartość początkową dla danego udziału. Wpisz dwie liczby i zobacz wzory.
Kalkulator soli do basenu
Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.
Kalkulator zaokrągleń
Zaokrąglaj dokładne liczby dziesiętne od 12 miejsc po przecinku po biliony. Porównaj remis do parzystej, od zera, sufit, podłogę i cztery inne tryby.
Kalkulator mieszanki paliwa i oleju do silników 2-suwowych
Oblicz ilość oleju do benzyny albo ilość paliwa z dostępnego oleju. Obsługuje jednostki metryczne, amerykańskie, brytyjskie i własne proporcje.