Softonic

Kalkulator kombinacji

Krok 1 / 3
Dalej

C(n, k), czytane „n po k”, zlicza liczbę sposobów wyboru k elementów z n, gdy kolejność nie ma znaczenia. Wybierz 3 dodatki z 10 → C(10, 3) = 120. Rozdaj 5-kartowe układy z 52 kart → C(52, 5) = 2 598 960. Kalkulator przyjmuje n do 170, zwraca dokładny wynik całkowity dzięki arytmetyce o dowolnej precyzji (bez zaokrągleń notacji naukowej) i pokazuje również odpowiadającą liczbę permutacji P(n, k).

Jak obliczane są kombinacje

  1. 1

    Wpisz n i k

    Oba liczby całkowite nieujemne, przy czym k ≤ n. n to rozmiar puli; k to rozmiar wyboru. Wartości powyżej 170 są ograniczane.

  2. 2

    Zastosowanie wzoru

    C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Narzędzie oblicza również P(n, k), liczbę wyborów uporządkowanych.

  3. 3

    Dokładny wynik całkowity

    Obliczenia używają dokładnej arytmetyki całkowitej, więc wyniki nigdy nie tracą cyfr, nawet dla wartości takich jak C(170, 85).

  4. 4

    Oba wyniki pokazane

    Kombinacje C(n, k) i permutacje P(n, k) są wyświetlane razem; P(n, k) = C(n, k) × k!.

Wzór

C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)

Równoważnie: C(n, k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / k!

Przykłady obliczeń

  • C(10, 3) = 120: sposoby wyboru 3 dodatków z 10.
  • C(52, 5) = 2 598 960: 5-kartowe układy pokerowe ze standardowej talii.
  • C(49, 6) = 13 983 816: kombinacje głównego losowania brytyjskiej loterii narodowej.
  • C(70, 5) × 25 = 302 575 350: kombinacje jackpotu Mega Millions (5 kul głównych z 70 + 1 kula Mega z 25).
  • C(100, 50) ≈ 1,01 × 10²⁹: podzbiory połowy 100-elementowego zbioru.

Kombinacje a permutacje

  • Kombinacja C(n, k): kolejność nie ma znaczenia. Wybór {A, B, C} to to samo co {C, B, A}.
  • Permutacja P(n, k): kolejność ma znaczenie. {A, B, C} różni się od {C, B, A}.
  • Zależność: P(n, k) = C(n, k) × k!

Losowania loterii to kombinacje (kolejność kul nie ma znaczenia). Pozycje na mecie wyścigu to permutacje (pierwsze, drugie, trzecie miejsce ma znaczenie).

Trójkąt Pascala

C(n, k) tworzy trójkąt Pascala, gdy ustawi się go tak:

            1
           1 1
          1 2 1
         1 3 3 1
        1 4 6 4 1
       1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Każdy wpis C(n, k) jest sumą dwóch wpisów nad nim: C(n-1, k-1) + C(n-1, k). Symetryczny: C(n, k) = C(n, n-k).

Własności

  • C(n, 0) = C(n, n) = 1: jest tylko jeden sposób, by nie wybrać nic albo wybrać wszystko.
  • C(n, 1) = n: n sposobów wyboru jednego elementu.
  • Suma wiersza n: Σ C(n, k) od k=0 do n = 2ⁿ. Łączna liczba podzbiorów n-elementowego zbioru.
  • Kij hokejowy: Σ C(i, k) od i=k do n = C(n+1, k+1).

Zastosowania w praktyce

  • Szanse w loterii: 1 / C(n, k) dla dokładnie wylosowanych liczb.
  • Projektowanie próby: dobór grup testowych z populacji.
  • Genetyka: zliczanie możliwych genotypów potomstwa.
  • Harmonogramowanie: turnieje każdy z każdym potrzebują C(drużyny, 2) meczów.
  • Rozkład dwumianowy: P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1-p)^(n-k).
  • Dobór komitetu: sposoby utworzenia komitetu 5-osobowego z 20 członków = C(20, 5) = 15 504.

Duże liczby: wciąż dokładnie

Wyniki rosną szybko: C(100, 50) ma już 30 cyfr. Kalkulator ogranicza n do 170, co pokrywa wszystkie praktyczne zastosowania, takie jak loterie, komitety i próby badawcze, i zachowuje dokładność każdego wyniku, ponieważ obliczenia używają arytmetyki całkowitej o dowolnej precyzji zamiast liczb zmiennoprzecinkowych.

Najczęściej zadawane pytania

Wybór k elementów do uwzględnienia jest matematycznie równoważny wyborowi n-k elementów do pominięcia. Taka sama liczba układów. C(10, 3) = C(10, 7) = 120.

C(n, k) = 0 z definicji, gdy k > n, nie da się wybrać więcej elementów, niż się ma. Kalkulator oznacza to i zwraca 0.

Kalkulator przyjmuje n do 170 i zawsze zwraca dokładną liczbę całkowitą. Dla typowych zadań z loterii i prawdopodobieństwa n prawie zawsze jest poniżej 100.

Nie. „Kombinacje z powtórzeniami” (zwane też multizbiorami) używają innego wzoru: C(n+k−1, k), którego to narzędzie nie oblicza. Potraktuj ten przypadek jako osobne zadanie.

Powiązane narzędzia

Konwerter daty juliańskiej

Przeliczaj gregoriańskie daty UTC, datę juliańską, zmodyfikowaną datę juliańską i sekundy Unix z dokładnością do milisekundy i obsługą przesunięcia UTC.

Kalkulator tralek

Podaj światło między słupkami, szerokość tralki oraz maksymalny dozwolony prześwit, aby uzyskać dokładną liczbę potrzebnych tralek i równy odstęp między każdą szczebliną, bez prześwitu większego niż dopuszczają przepisy.

Kalkulator procentów

Oblicz procent z wartości, dodaj lub odejmij procent albo znajdź wartość początkową dla danego udziału. Wpisz dwie liczby i zobacz wzory.

Kalkulator soli do basenu

Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.

Kalkulator zaokrągleń

Zaokrąglaj dokładne liczby dziesiętne od 12 miejsc po przecinku po biliony. Porównaj remis do parzystej, od zera, sufit, podłogę i cztery inne tryby.

Kalkulator mieszanki paliwa i oleju do silników 2-suwowych

Oblicz ilość oleju do benzyny albo ilość paliwa z dostępnego oleju. Obsługuje jednostki metryczne, amerykańskie, brytyjskie i własne proporcje.