Softonic

Kalkulator pierwiastka kwadratowego

Krok 1 / 4 Pierwiastek kwadratowy

Wpisz dowolną liczbę. Dla danych nieujemnych kalkulator zwraca główny pierwiastek kwadratowy w postaci dziesiętnej; dla dodatnich liczb całkowitych pokazuje też uproszczoną postać pierwiastkową, gdy jest to możliwe: √72 = 6√2 i √200 = 10√2. Kwadraty doskonałe dają liczby całkowite. Dane ujemne są oznaczane jako zespolone, a poniższy przewodnik wyjaśnia, jak √(−x) przechodzi w i√x.

Jak obliczany jest pierwiastek

  1. 1

    Wpisz liczbę pod pierwiastkiem

    Podaj liczbę znajdującą się pod znakiem pierwiastka. Może być dodatnia, ujemna albo równa zero.

  2. 2

    Odczytaj wynik dziesiętny

    Dla danych nieujemnych kalkulator zwraca pierwiastek główny, korzystając ze standardowego obliczania pierwiastka kwadratowego na liczbach zmiennoprzecinkowych.

  3. 3

    Sprawdź uproszczoną postać pierwiastkową

    Dla dodatnich liczb całkowitych czynniki będące kwadratami doskonałymi są wyciągane przed znak pierwiastka. √72 = √(36 × 2) = 6√2.

  4. 4

    Skorzystaj z notatek do sprawdzenia

    Przykłady poniżej pokazują metodę rozkładu na czynniki, typowe wartości dziesiętne oraz różnicę między pierwiastkami rzeczywistymi i zespolonymi.

Przydatne kwadraty doskonałe

n n² √(n²)
1 1 1
2 4 2
3 9 3
4 16 4
5 25 5
10 100 10
11 121 11
12 144 12
13 169 13
14 196 14
15 225 15
16 256 16
25 625 25

Upraszczanie liczb, które nie są kwadratami doskonałymi

Dla liczb całkowitych znajdź największy czynnik będący kwadratem doskonałym:

  • √50 = √(25 × 2) = 5√2
  • √72 = √(36 × 2) = 6√2
  • √108 = √(36 × 3) = 6√3
  • √500 = √(100 × 5) = 10√5
  • √1000 = √(100 × 10) = 10√10

Jeśli zostaje czynnik, który nie jest kwadratem, zostaw go pod pierwiastkiem. Na przykład √180 = √(36 × 5) = 6√5, a nie √(4 × 45) = 2√45, ponieważ 45 nadal zawiera czynnik będący kwadratem doskonałym: 9.

Częste wartości dziesiętne i zastosowania

  • √2 ≈ 1,41421 (geometria szkolna: przekątna kwadratu 1 × 1)
  • √3 ≈ 1,73205 (przekątna przestrzenna sześcianu jednostkowego)
  • √5 ≈ 2,23607 (występuje w złotej proporcji (1+√5)/2)
  • √7 ≈ 2,64575
  • √π ≈ 1,77245 (statystyka i całki Gaussa)
  • √10 ≈ 3,16228
  • √(1000) ≈ 31,6228 (dziesięciokrotne zwiększenie liczby mnoży pierwiastek przez około 3,16)

W budownictwie i pomiarach pierwiastki kwadratowe często zamieniają pole na długość boku: kwadratowy taras o powierzchni 49 m² ma bok √49 = 7 m, a kwadratowa przestrzeń 80 m² ma bok √80 = 4√5 m ≈ 8,94 m.

Liczby ujemne i pierwiastki zespolone

Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest liczbą rzeczywistą. W liczbach zespolonych dla dodatniego x mamy √(−x) = i√x, więc √(−4) = 2i. Kalkulator oznacza dane ujemne jako zespolone, zamiast pokazywać rzeczywisty wynik dziesiętny.

Pierwiastek kwadratowy a pierwiastek n-tego stopnia

Ten kalkulator obsługuje pierwiastki kwadratowe, czyli pierwiastki drugiego stopnia. Do pierwiastków sześciennych, czwartego stopnia i innych indeksów użyj ogólnego narzędzia do pierwiastków n-tego stopnia. Kluczowe tożsamości:

  • √(ab) = √a × √b (tylko gdy a i b są nieujemne)
  • √(a/b) = √a / √b (tylko gdy b > 0)
  • (√a)² = a (tylko gdy a >= 0)

Nota historyczna

Symbol pierwiastka √ rozwinął się w XVI wieku z litery r, od łacińskiego radix, czyli korzeń lub pierwiastek. Pozioma kreska, zwana vinculum, została dodana w XVII wieku, aby dokładnie wskazać, co znajduje się pod pierwiastkiem.

Najczęściej zadawane pytania

Każda liczba dodatnia ma dwa pierwiastki kwadratowe: +r i −r. Znak pierwiastka √ zwraca pierwiastek główny, czyli nieujemny. Przy rozwiązywaniu równań kwadratowych zwykle bierze się pod uwagę oba pierwiastki.

Zgodnie z konwencją tylko 5. √ zwraca pierwiastek główny. Przy rozwiązywaniu x² = 25 zarówno 5, jak i −5 spełniają równanie, więc zapisuje się x = ±5.

Typowe metody to wyciąganie kwadratów doskonałych przed pierwiastek, algorytm pisemny cyfra po cyfrze oraz metoda Newtona: x_new = (x + a/x)/2. Metoda Newtona szybko zbiega; kilka iteracji zwykle wystarcza do szkolnego sprawdzenia wyniku.

Klasyczny dowód używa sprzeczności. Jeśli √2 = p/q w postaci nieskracalnej, to 2q² = p², więc p jest parzyste. Zapisz p = 2k; wtedy q² = 2k², więc q także jest parzyste. To przeczy założeniu, że p/q było nieskracalne, zatem √2 nie może być ułamkiem.

Powiązane narzędzia

Kalkulator tralek

Podaj światło między słupkami, szerokość tralki oraz maksymalny dozwolony prześwit, aby uzyskać dokładną liczbę potrzebnych tralek i równy odstęp między każdą szczebliną, bez prześwitu większego niż dopuszczają przepisy.

Konwerter daty juliańskiej

Przeliczaj gregoriańskie daty UTC, datę juliańską, zmodyfikowaną datę juliańską i sekundy Unix z dokładnością do milisekundy i obsługą przesunięcia UTC.

Kalkulator soli do basenu

Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.

Wojskowy kalkulator tkanki tłuszczowej

Oszacuj procent tkanki tłuszczowej metodą taśmy mierniczej armii USA (AR 600-9): wzrost, szyja i talia dla mężczyzn, dodatkowo biodra dla kobiet.

Kalkulator proporcji

Wpisz trzy wartości w a:b = c:d, aby znaleźć brakujący składnik. Całkowite proporcje a:b są też skracane do najprostszej postaci.

Kalkulator mieszanki paliwa i oleju do silników 2-suwowych

Oblicz ilość oleju do benzyny albo ilość paliwa z dostępnego oleju. Obsługuje jednostki metryczne, amerykańskie, brytyjskie i własne proporcje.