Softonic

Kalkulator iloczynu wektorowego

Krok 1 / 3 Iloczyn wektorowy (A × B)
Dalej

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów 3D daje w wyniku trzeci wektor prostopadły do obu z nich. Jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego przez te dwa wektory, a jego zwrot wyznacza reguła prawej dłoni. Dzięki temu jest niezbędny przy wektorach normalnych powierzchni w grafice 3D, przy momencie siły i momencie pędu w fizyce oraz w każdej geometrii wymagającej kierunku prostopadłego. Wprowadź składowe wektorów A i B, a to narzędzie zwróci A × B w postaci (x, y, z) wraz z jego długością, a wynik aktualizuje się na bieżąco podczas wpisywania.

Jak obliczyć iloczyn wektorowy

  1. 1

    Wprowadź wektor A

    Wpisz trzy składowe ax, ay i az pierwszego wektora.

  2. 2

    Wprowadź wektor B

    Wpisz trzy składowe bx, by i bz drugiego wektora.

  3. 3

    Odczytaj wynik

    Wektor prostopadły A × B jest pokazany jako (x, y, z) wraz z jego długością.

Wzór

Dla wektorów A = (ax, ay, az) i B = (bx, by, bz) iloczyn wektorowy wynosi:

A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx)

Każda składowa jest wyznacznikiem 2×2 dwóch pozostałych osi, przy czym znak środkowego wyrazu jest odwrócony. Wygodnym sposobem na zapamiętanie jest rozwinięcie wyznacznika wzdłuż wersorów i, j, k.

Przykład z rozwiązaniem

Weźmy A = (1, 2, 3) i B = (4, 5, 6):

  • x: ay·bz − az·by = 2·6 − 3·5 = 12 − 15 = −3
  • y: az·bx − ax·bz = 3·4 − 1·6 = 12 − 6 = 6
  • z: ax·by − ay·bx = 1·5 − 2·4 = 5 − 8 = −3

Zatem A × B = (−3, 6, −3). Jego długość to √((−3)² + 6² + (−3)²) = √54 ≈ 7,348. Możesz sprawdzić, że wynik jest prostopadły: A·(A × B) = 1·(−3) + 2·6 + 3·(−3) = 0. ✓

Najważniejsze własności

Własność Treść
Antyprzemienność A × B = −(B × A)
Wektory równoległe A × A = 0 (każda para równoległa daje 0)
Długość |A × B| = |A| · |B| · sin(θ)
Prostopadłość (A × B) ⊥ A oraz (A × B) ⊥ B
Zwrot Reguła prawej dłoni od A do B

Częste błędy

  • Kolejność ma znaczenie. Zamiana wektorów odwraca znak każdej składowej, ponieważ iloczyn wektorowy jest antyprzemienny.
  • Iloczyn wektorowy istnieje tylko w 3D. W przeciwieństwie do iloczynu skalarnego, A × B jest zdefiniowany dla wektorów trójwymiarowych (istnieje analogon w 7D, lecz rzadko się go stosuje). Dla wektorów 2D uzupełnij brakującą składową z wartością 0.
  • Znak środkowego wyrazu. Składowa y to az·bx − ax·bz, a nie ax·bz − az·bx: wyraz j jest odejmowany w rozwinięciu wyznacznika, i właśnie tam najczęściej powstają błędy przy liczeniu ręcznym.
  • Wektory równoległe dają zero. Jeśli A i B są skierowane w tę samą stronę (θ = 0), wynikiem jest wektor zerowy, ponieważ sin(0) = 0.

Najczęściej zadawane pytania

Iloczyn skalarny zwraca pojedynczą liczbę (skalar) i mierzy, jak bardzo dwa wektory są równoległe. Iloczyn wektorowy zwraca wektor prostopadły do obu i mierzy, jak bardzo są one prostopadłe. Odpowiadają na przeciwne pytania.

Nie bezpośrednio: iloczyn wektorowy jest zdefiniowany dla wektorów 3D. Dla dwóch wektorów 2D możesz ustawić składową z na 0; wynik ma wtedy tylko składową z równą ax·by − ay·bx, często nazywaną „iloczynem wektorowym 2D“ lub polem ze znakiem.

Długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego przez dwa wektory, a także wynosi |A| · |B| · sin(θ), gdzie θ to kąt między nimi. Połowa tej wartości to pole trójkąta utworzonego przez A i B.

Nie. Składowe są wysyłane na serwer wyłącznie w celu wykonania obliczenia i nie są zapisywane w bazie danych ani przechowywane po zamknięciu strony.

Powiązane narzędzia

Konwerter daty juliańskiej

Przeliczaj gregoriańskie daty UTC, datę juliańską, zmodyfikowaną datę juliańską i sekundy Unix z dokładnością do milisekundy i obsługą przesunięcia UTC.

Kalkulator procentów

Oblicz procent z wartości, dodaj lub odejmij procent albo znajdź wartość początkową dla danego udziału. Wpisz dwie liczby i zobacz wzory.

Kalkulator soli do basenu

Oblicz ilość soli do basenu na podstawie aktualnego i docelowego zasolenia w ppm. Sprawdź kg, funty, worki lub ostrożny szacunek wymiany wody.

Kalkulator zaokrągleń

Zaokrąglaj dokładne liczby dziesiętne od 12 miejsc po przecinku po biliony. Porównaj remis do parzystej, od zera, sufit, podłogę i cztery inne tryby.

Kalkulator pochylni

Oszacuj długość, nachylenie, kąt, biegi i powierzchnię materiału z wzniesienia, proporcji, szerokości i założenia spoczników.

Kalkulator mieszanki paliwa i oleju do silników 2-suwowych

Oblicz ilość oleju do benzyny albo ilość paliwa z dostępnego oleju. Obsługuje jednostki metryczne, amerykańskie, brytyjskie i własne proporcje.