Kalkulator ciągu arytmetycznego

Wzory ciągu arytmetycznego

Ciąg arytmetyczny ma stały odstęp, różnicę d, między kolejnymi wyrazami. Dwa wzory wykonują całą pracę:

n-ty wyraz:  a_n = a₁ + (n − 1) · d
suma:        S_n = n/2 · (2·a₁ + (n − 1) · d)

Tutaj a₁ to pierwszy wyraz, d to wartość dodawana na każdym kroku (może być ujemna dla ciągu malejącego), a n to liczba wyrazów, które liczysz. Wzór na sumę to po prostu średnia pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożona przez liczbę wyrazów.

Rozwiązany przykład

Weź a₁ = 2 oraz d = 3. Ciąg to 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29 …

Aby znaleźć 10. wyraz:

a₁₀ = 2 + (10 − 1) · 3 = 2 + 27 = 29

Aby dodać pierwszych 10 wyrazów:

S₁₀ = 10/2 · (2·2 + 9·3) = 5 · (4 + 27) = 5 · 31 = 155

Zatem 10. wyraz to 29, a suma bieżąca to 155.

Wyrazy, różnice i sumy częściowe

Zauważ, że każdy wyraz rośnie dokładnie o d = 3, co jest cechą charakterystyczną ciągu arytmetycznego (a nie geometrycznego). Suma częściowa Sₙ rośnie szybciej niż same wyrazy, ponieważ każdy krok dodaje całą bieżącą linię, a nie tylko ostatnią wartość.

Szybkie sprawdzenie: suma jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu. Dla n = 10 daje to 10 · (2 + 29) ÷ 2 = 10 · 15,5 = 155, co dokładnie zgadza się z tabelą.

Częste pomyłki

• Błąd o jeden przy n. Wzór używa (n − 1)·d, a nie n·d. Do pierwszego wyrazu nie dodaje się żadnej różnicy, więc a₁ = 2, a nie 5.
• Mylenie arytmetycznego z geometrycznym. Ciągi arytmetyczne dodają stałą różnicę d; ciągi geometryczne mnożą przez stały iloraz. Jeśli twoje odstępy ciągle się podwajają, potrzebujesz narzędzia do ciągów geometrycznych.
• Ujemne różnice są w porządku. Różnica d = −4 daje ciąg malejący; obowiązują te same wzory.