Softonic

Kalkulator rzutu wektora

Krok 1 / 3 Kalkulator rzutu wektora

Wpisz składowe oddzielone przecinkami, spacjami lub średnikami. Dla ułamków użyj kropki.

Dalej: wektor b

Rzut wektora a na wektor b to ta część a, która biegnie wzdłuż b: cień, jaki a rzuca na prostą wyznaczoną przez b. Wpisz współrzędne obu wektorów, a kalkulator poda wektor rzutu, rzut skalarny, pozostałą składową ortogonalną, iloczyn skalarny i kąt między wektorami. Działa w 2D, 3D oraz dla dowolnej liczby współrzędnych do 20 i ostrzega, gdy b jest wektorem zerowym, bo taki wektor nie ma kierunku, na który dałoby się rzutować.

Jak rzutować jeden wektor na drugi

  1. 1

    Wpisz wektor a

    Podaj współrzędne wektora, który chcesz rzutować, oddzielone przecinkami, spacjami lub średnikami, na przykład 3, 4 albo 1, 2, 3. Jako separator dziesiętny użyj kropki.

  2. 2

    Wpisz wektor b

    Podaj wektor, który wyznacza kierunek. Musi mieć tyle samo współrzędnych co a i nie może składać się z samych zer.

  3. 3

    Odczytaj rzut

    Strona wyników pokazuje rzut a na b, rzut skalarny, składową ortogonalną, kąt, iloczyn skalarny i długość rzutu. Wektor rzutu możesz skopiować.

Co mówi wzór na rzut wektora

Rzut wektora a na b wyraża się wzorem

proj_b(a) = (a · b / |b|²) b

gdzie a · b to iloczyn skalarny, a |b|² to iloczyn skalarny b przez samo siebie. Ułamek jest jedną liczbą, która skaluje b, więc rzut zawsze leży na prostej wyznaczonej przez b. Gdy ułamek jest ujemny, rzut jest skierowany przeciwnie do b, co zdarza się, gdy kąt między wektorami przekracza 90 stopni.

Wielkości, które podaje kalkulator

Wynik Wzór Co oznacza
Rzut (a · b / |b|²) b Składowa a wzdłuż b, zapisana jako wektor
Rzut skalarny a · b / |b| Długość tej składowej ze znakiem
Składowa ortogonalna a - proj_b(a) Reszta a, prostopadła do b
Kąt arccos(a · b / (|a| |b|)) Od 0 do 180 stopni
Długość rzutu |a · b| / |b| Rzut skalarny bez znaku

Po dodaniu rzutu i składowej ortogonalnej dostajesz z powrotem a. Na tym polega sens rozkładu: a dzieli się na część wzdłuż b i część prostopadłą do b.

Przykłady obliczeń

a b Rzut Rzut skalarny Kąt
(3, 4) (5, 0) (3, 0) 3 53,130102°
(2, 3) (0, 5) (0, 3) 3 33,690068°
(1, 0) (-2, 0) (1, 0) -1 180°
(1, 0) (0, 1) (0, 0) 0 90°
(1, 2, 3) (4, -5, 6) (0,623377; -0,779221; 0,935065) 1,367527 68,562447°

W pierwszym wierszu a · b = 3 × 5 + 4 × 0 = 15, a |b|² = 25, więc współczynnik wynosi 0,6, a rzut to 0,6 × (5, 0) = (3, 0). Składowa ortogonalna to (3, 4) - (3, 0) = (0, 4), czyli wektor prostopadły do (5, 0).

Rzut skalarny a rzut wektorowy

Rzut skalarny to jedna liczba ze znakiem, a rzut wektorowy to ta liczba razy wersor b. W podręcznikach rzut skalarny bywa nazywany składową a wzdłuż b. Niektóre książki słowem “rzut” określają właśnie skalar, więc sprawdź, co oznacza w twoim kursie, zanim przepiszesz odpowiedź.

Częste błędy

  • Rzutowanie na niewłaściwy wektor. proj_b(a) i proj_a(b) to na ogół różne wektory.
  • Mieszanie wymiarów. Oba wektory muszą mieć tyle samo współrzędnych.
  • Przyjęcie b = (0, 0). Wzór dzieli przez |b|², więc wektor zerowy nie ma rzutu.
  • Pominięcie znaku. Ujemny rzut skalarny oznacza, że a odchyla się od b.

Najczęściej zadawane pytania

Kalkulator pokaże komunikat o błędzie zamiast liczby. Rzut wymaga dzielenia przez kwadrat długości b, a wektor zerowy ma długość zero, więc nie ma kierunku, na który można rzutować. Wróć i wpisz b z co najmniej jedną współrzędną różną od zera.

Tak. Wtedy rzut i składowa ortogonalna są wektorami zerowymi, a rzut skalarny wynosi 0. Kąt jest pokazany jako nieokreślony, bo kąt wymaga dwóch wektorów, z których każdy ma kierunek.

Od 1 do 20. Użyj dwóch liczb dla 2D, trzech dla 3D lub więcej dla wyższych wymiarów. Wektory a i b muszą mieć tyle samo współrzędnych, w przeciwnym razie kalkulator poprosi o poprawienie danych.

Oddziel współrzędne przecinkami, spacjami lub średnikami i użyj kropki jako separatora dziesiętnego. Nawiasy są pomijane, więc działają zarówno 3, 4, jak i (3; 4). Notacja naukowa, na przykład 1.5e-3, też jest akceptowana.

Kąt między a i b jest większy niż 90 stopni, więc a częściowo wskazuje przeciwnie do b. Rzut wektorowy jest wtedy skierowany przeciwnie do b, a iloczyn skalarny jest ujemny.

Tak. To a minus rzut, a jej iloczyn skalarny z b wynosi zero z dokładnością do drobnych błędów zaokrągleń. Wyniki są podawane z sześcioma miejscami po przecinku, więc dokładne wartości, takie jak 53,130102 stopnia, są zaokrąglone.

Rzut przenosi a na prostą wyznaczoną przez b. Odbicie lustrzane odwraca a względem tej prostej i jest równe dwukrotności rzutu minus a. Kalkulator podaje rzut i składową ortogonalną, z których odbicie możesz łatwo obliczyć samodzielnie.

Powiązane narzędzia

Kalkulator numerologii imienia i nazwiska

Oblicz liczbę przeznaczenia i liczbę ekspresji z pełnego imienia i nazwiska metodą numerologii pitagorejskiej, wraz z krótką interpretacją osobowości.

Kalkulator „za ile godzin”

Sprawdź dokładną godzinę, dzień tygodnia i datę za określoną liczbę godzin od teraz, w swojej strefie czasowej i dodatkowo w UTC.

Kalkulator dopasowania imion

Wpisz dwa imiona i zobacz, jak pasują do siebie ich liczby: ekspresja i pragnienie duszy każdego imienia, z każdym krokiem obliczeń. Tylko dla zabawy.

Kalkulator obudowy subwoofera

Oblicz objętość netto obudowy po odjęciu głośnika, wzmocnień i tunelu, znajdź długość tunelu dla częstotliwości strojenia albo wyznacz jeden wymiar.

Kalkulator czasu trwania

Oblicz czas między dwiema godzinami jako HH:MM, godziny dziesiętne, minuty i sekundy.

Kalkulator „ile lat temu”

Znajdź dokładną datę określoną liczbę lat temu od dzisiaj. Cofaj daty wydarzeń, rocznic i zapytań historycznych.

Narzędzie jest dostępne w innych językach