Softonic

Kalkulator przybliżenia liniowego

Krok 1 / 3 Przybliżenie liniowe

Zmienną jest x, a potęgi zapisuj znakiem ^. Argumenty funkcji umieszczaj w nawiasach. Iloczyny możesz zapisać jako 2x, 3(x + 1) albo 2*x. Funkcje i stałe, których możesz użyć: sqrt, cbrt, exp, ln, log, sin, cos, tan, asin, acos, atan, abs, pi, e

Przykłady

Dalej: punkt a

Ten kalkulator przybliżenia liniowego wyznacza linearyzację funkcji f w punkcie a, czyli styczną L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), i używa jej do oszacowania f(x) dla x leżącego blisko a. W szkole i na studiach ten sam rachunek nazywa się często obliczaniem przybliżonej wartości za pomocą różniczki. Wpisz funkcję, punkt a i, jeśli chcesz otrzymać oszacowanie, wartość x. Zobaczysz L(x) zapisane z liczbami oraz w postaci kierunkowej, wartości f(a) i f’(a), przybliżenie liniowe obok wartości dokładnej, błąd bezwzględny i procentowy oraz rozwiązanie krok po kroku, tak jak zapisuje się je na zajęciach z analizy matematycznej.

Jak obliczyć przybliżenie liniowe

  1. 1

    Wpisz funkcję f(x)

    Zmienną jest x, na przykład sqrt(x), x^3 - 2x, ln(x), sin(x), e^x albo 1/x. Potęgi zapisuje się znakiem ^, a argumenty funkcji w nawiasach.

  2. 2

    Podaj punkt a

    Wybierz punkt, w którym f łatwo obliczyć, na przykład 4 dla sqrt(x) albo pi/6 dla sin(x). Kalkulator najpierw pokazuje funkcję tak, jak ją odczytał, więc pomyłkę w rodzaju e^2x zamiast e^(2x) wychwycisz jeszcze przed wynikiem.

  3. 3

    Dodaj x, dla którego chcesz oszacować wartość (opcjonalnie)

    Wybierz x blisko a, na przykład 4,1. Zostaw pole puste, jeśli potrzebujesz tylko linearyzacji.

  4. 4

    Odczytaj L(x), przybliżenie i błąd

    Wynik zawiera L(x) w postaci f(a) + f'(a)(x - a) i w postaci kierunkowej, f(a), f'(a), przybliżenie L(x), dokładne f(x), oba błędy i każdy krok rozwiązania.

Wzór na linearyzację i kiedy się sprawdza

Linearyzacja funkcji f w punkcie a to prosta, która przechodzi przez punkt (a, f(a)) i ma tam takie samo nachylenie jak wykres:

L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

Blisko a wykres i styczna prawie się pokrywają, więc L(x) szybko daje przybliżoną wartość f(x). To właśnie przybliżenie liniowe, nazywane też aproksymacją liniową, przybliżeniem za pomocą różniczki albo wielomianem Taylora pierwszego stopnia.

Przykład: oszacuj sqrt(4,1)

  1. Przyjmij f(x) = sqrt(x) i a = 4, czyli najbliższy punkt, w którym pierwiastek łatwo obliczyć.
  2. Oblicz wartość funkcji: f(4) = 2.
  3. Oblicz pochodną: f'(x) = 1/(2sqrt(x)), więc f'(4) = 1/4 = 0,25.
  4. Zapisz prostą: L(x) = 2 + 0,25(x - 4), czyli L(x) = 0,25x + 1 w postaci kierunkowej.
  5. Oszacuj: L(4,1) = 2 + 0,25(0,1) = 2,025.
  6. Porównaj: wartość dokładna to sqrt(4,1) = 2,024846, więc błąd bezwzględny wynosi 0,000154, a błąd procentowy około 0,0076%.

Klasyczne przybliżenia liniowe

Funkcja Punkt a Linearyzacja L(x) Przybliżenie Wartość dokładna Błąd bezwzględny
sqrt(x) 4 2 + 0,25(x - 4) L(4,1) = 2,025 2,024846 0,000154
cbrt(x) 8 2 + (1/12)(x - 8) L(8,1) = 2,008333 2,008299 0,000034
ln(x) 1 x - 1 L(1,1) = 0,1 0,095310 0,004690
sin(x) 0 x L(0,1) = 0,1 0,099833 0,000167
e^x 0 1 + x L(0,1) = 1,1 1,105171 0,005171
1/x 2 0,5 - 0,25(x - 2) L(2,1) = 0,475 0,476190 0,001190

Jak duży jest błąd?

Błąd przybliżenia liniowego wynosi mniej więcej |f''(a)| / 2 × (x - a)^2. Wynikają z tego dwie rzeczy:

  • Liczy się odległość, i to w kwadracie. Dla sqrt(x) w punkcie a = 4 błąd wynosi 0,0000016 dla x = 4,01; 0,000154 dla x = 4,1; 0,0037 dla x = 4,5 i 0,0139 dla x = 5. Dziesięć razy dalej oznacza błąd około sto razy większy.
  • O kierunku decyduje wypukłość. Tam, gdzie wykres jest wklęsły (sqrt(x), ln(x)), styczna leży nad wykresem i przybliżenie jest zawyżone. Tam, gdzie jest wypukły (e^x, 1/x dla dodatnich x), przybliżenie jest zaniżone. Kalkulator podaje, z którym przypadkiem masz do czynienia.

Jak wpisać funkcję

Co chcesz zapisać Wpisz Uwagi
Ułamki dziesiętne 0,25x, x^2,5, 4,1 Separatorem dziesiętnym jest przecinek. Kropka też działa (4.1), ale tysięcy nie oddzielaj: zapisy 1.000 i 1.234,5 są odrzucane, podobnie jak 2.025, bo można je odczytać na dwa sposoby. Wpisz 1000 i 2,025.
Potęgi x^3, x^(1/2), e^(2x) Wykładnik to jeden element: e^2x oznacza (e^2)x. Dla e^(2x) użyj nawiasów.
Iloczyny 2x, 3(x + 1), 2sin(x), x*ln(x) Czynniki zapisane obok siebie są mnożone.
Minus na początku -x^2 Odczytywane jako -(x^2). Kwadrat liczby -x zapisz jako (-x)^2.
Pierwiastki sqrt(x), cbrt(x) cbrt to rzeczywisty pierwiastek sześcienny, także dla ujemnych x. x^(1/3) nie ma wartości dla ujemnych x, użyj wtedy cbrt(x), a zamiast x^(2/3) wpisz cbrt(x)^2.
Zapis naukowy 1e-3, 2E5, 1,5e+3 Liczba, po której bezpośrednio stoi e i wykładnik, jest czytana jako potęga dziesięciu: 1e-3 to 0,001. Aby uzyskać 2 razy stałą e, wpisz 2*e lub 2e^x.
Logarytmy ln(x), log(x) ln to logarytm naturalny, a log to logarytm dziesiętny.
Trygonometria sin(x), cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x) Radiany. Dla 30 stopni wpisz pi/6. Kalkulator rozumie też zapisy tg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x) i arctan(x). Cotangens zapisz jako 1/tan(x).
Pozostałe exp(x), abs(x), pi, e sin^2(x) jest odczytywane jako (sin(x))^2.

Punkty, w których nie ma linearyzacji

  • Poza dziedziną. ln(x) w a = 0, sqrt(x) w a = -1 i 1/x w a = 0 nie mają wartości, więc nie ma punktu, którego styczna mogłaby dotknąć.
  • Brak nachylenia. Wykres abs(x) załamuje się w 0, a sqrt(x) i cbrt(x) mają w 0 styczną pionową. Funkcja ma tam wartość, ale nie ma skończonej pochodnej, więc linearyzacja nie istnieje. Kalkulator to zgłasza i pokazuje pochodną, którą próbował obliczyć.

Najczęściej zadawane pytania

To dwie nazwy tej samej idei. Linearyzacja to funkcja L(x) = f(a) + f’(a)(x - a), czyli równanie stycznej w punkcie a. Przybliżenie liniowe to sposób jej użycia: L(x) służy jako oszacowanie f(x) dla x bliskiego a. Kalkulator podaje jedno i drugie, prostą i oszacowanie.

Symbolicznie, według tych samych wzorów, których używasz w rachunkach ręcznych: pochodnej potęgi, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej oraz podstawowych pochodnych funkcji sqrt, exp, ln, log, funkcji trygonometrycznych, funkcji do nich odwrotnych i abs. Następnie oblicza wartość tej pochodnej w punkcie a, więc f’(a) jest dokładne z dokładnością do zwykłych zaokrągleń zmiennoprzecinkowych i nie jest oszacowaniem numerycznym. Znaleziona pochodna jest widoczna w rozwiązaniu, lekko uporządkowana, ale nie w pełni uproszczona, więc może wyglądać inaczej niż twój wynik, a mimo to być mu równa.

Tutaj log(x) to logarytm dziesiętny, a ln(x) to logarytm naturalny, tak jak w polskich podręcznikach i na kalkulatorach naukowych. Część programów odczytuje log jako logarytm naturalny, więc sprawdź, o który chodzi w twoim zadaniu. Jeśli funkcja zawiera log, kalkulator przypomina o tym przed wynikiem.

Zawsze w radianach. Wzory na pochodne, na przykład to, że pochodną sin(x) jest cos(x), są prawdziwe tylko w radianach. Aby liczyć dla 30 stopni, wpisz a = pi/6, a dla 45 stopni pi/4. Zarówno punkt a, jak i x mogą być stałymi takimi jak pi/6, e czy sqrt(2).

Nie ma jednej ustalonej odległości: zależy to od tego, jak mocno wykres zakrzywia się w pobliżu a. Błąd rośnie z kwadratem odległości od a, więc dwukrotne zmniejszenie odległości zmniejsza błąd mniej więcej czterokrotnie. Dodaj swoje x i odczytaj błąd bezwzględny i procentowy. Jeśli błąd jest za duży do twoich celów, wybierz punkt a leżący bliżej x.

Albo funkcja nie ma w punkcie a skończonej wartości, jak ln(x) w 0 czy 1/x w 0, albo ma wartość, ale nie ma skończonego nachylenia, jak abs(x) w 0 (załamanie wykresu) czy sqrt(x) w 0 (styczna pionowa). W rzadkich przypadkach, takich jak x*abs(x) w 0, pochodna istnieje, ale wzory dają tam 0/0. Kalkulator zgłasza wtedy brak nachylenia i niczego nie zgaduje. We wszystkich tych sytuacjach wystarczy wybrać punkt położony w pobliżu.

Wartości są obliczane w podwójnej precyzji, czyli z około 15 cyframi znaczącymi, a wyświetlane z 7. Znak równości oznacza, że liczba jest pokazana w całości, a znak „w przybliżeniu równe”, że została zaokrąglona. Gdy x leży tak blisko a, że przybliżenie i wartość dokładna zgadzają się na prawie wszystkich 15 cyfrach, błąd jest pokazywany tylko z tymi cyframi, które mają znaczenie.

Nie. Funkcja i liczby, które wpisujesz, są wysyłane na nasz serwer, żeby obliczyć wynik, i trafiają do adresu strony przy przechodzeniu między krokami, dzięki czemu obliczenie można dodać do zakładek albo komuś wysłać. Nie są zapisywane na żadnym koncie ani w żadnym profilu.

Powiązane narzędzia

Kalkulator numerologii imienia i nazwiska

Oblicz liczbę przeznaczenia i liczbę ekspresji z pełnego imienia i nazwiska metodą numerologii pitagorejskiej, wraz z krótką interpretacją osobowości.

Kalkulator „za ile godzin”

Sprawdź dokładną godzinę, dzień tygodnia i datę za określoną liczbę godzin od teraz, w swojej strefie czasowej i dodatkowo w UTC.

Kalkulator dopasowania imion

Wpisz dwa imiona i zobacz, jak pasują do siebie ich liczby: ekspresja i pragnienie duszy każdego imienia, z każdym krokiem obliczeń. Tylko dla zabawy.

Kalkulator obudowy subwoofera

Oblicz objętość netto obudowy po odjęciu głośnika, wzmocnień i tunelu, znajdź długość tunelu dla częstotliwości strojenia albo wyznacz jeden wymiar.

Kalkulator czasu trwania

Oblicz czas między dwiema godzinami jako HH:MM, godziny dziesiętne, minuty i sekundy.

Kalkulator amperogodzin

Oblicz czas pracy i zmagazynowaną energię akumulatora na podstawie amperogodzin, napięcia i prądu obciążenia. Otrzymaj czas pracy w godzinach i minutach oraz energię w watogodzinach i kilowatogodzinach.

Narzędzie jest dostępne w innych językach