Softonic

Kalkulator wielomianu charakterystycznego

Krok 1 / 3 Kalkulator wielomianu charakterystycznego
Rozmiar macierzy
Elementy macierzy

Wpisz liczby całkowite, ułamki dziesiętne, np. 0,25, albo ułamki zwykłe, np. -3/4. Wypełnij każde pole.

Dalej: postać wielomianu

Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej A to det(A - λI), czyli wielomian zmiennej λ, którego pierwiastkami są wartości własne macierzy A. Wypełnij macierz 2 × 2, 3 × 3 lub 4 × 4, a kalkulator poda wielomian z dokładnymi współczynnikami, ślad, wyznacznik oraz, dla macierzy 2 × 2 i 3 × 3, rzeczywiste wartości własne.

Jak znaleźć wielomian charakterystyczny

  1. 1

    Wybierz rozmiar i wypełnij tabelę

    Wybierz 2 × 2, 3 × 3 lub 4 × 4, a następnie wpisz każdy element jako liczbę całkowitą, ułamek dziesiętny, np. 0,25, albo ułamek zwykły, np. -3/4.

  2. 2

    Wybierz postać

    Wybierz det(A - λI), czyli postać znaną z podręczników, albo det(λI - A), postać unormowaną, w której współczynnik przy najwyższej potędze zawsze wynosi 1. Dla rozmiaru parzystego, np. 2 × 2 lub 4 × 4, obie dają ten sam wielomian.

  3. 3

    Odczytaj wielomian

    Wynik zawiera wielomian, tabelę jego współczynników oraz ślad i wyznacznik Twojej macierzy.

  4. 4

    Sprawdź wartości własne

    Dla macierzy 2 × 2 i 3 × 3 wypisane są pierwiastki rzeczywiste razem z ich krotnością. Dla macierzy 4 × 4 otrzymasz tylko dokładny wielomian.

Co mówi wielomian charakterystyczny

Dla macierzy A o wymiarze n × n wielomian det(λI - A) ma postać:

λⁿ - (ślad A)·λⁿ⁻¹ + ... + (-1)ⁿ·det A

Dwa współczynniki łatwo więc odczytać: drugi to ślad ze znakiem minus (suma elementów na głównej przekątnej), a wyraz wolny to wyznacznik, z dokładnością do znaku (-1)ⁿ. Pierwiastki są wartościami własnymi macierzy A, ich suma to ślad, a iloczyn to wyznacznik. Zgodnie z twierdzeniem Cayleya-Hamiltona macierz A spełnia też własny wielomian: po podstawieniu macierzy A w miejsce λ otrzymasz macierz zerową.

Jak liczone są współczynniki

Kalkulator korzysta ze wzoru rekurencyjnego Faddiejewa-LeVerriera. Zaczynając od macierzy jednostkowej, buduje ciąg macierzy M₁, M₂, ... według wzoru Mₖ = A·Mₖ₋₁ + cₙ₋ₖ₊₁·I i przyjmuje każdy współczynnik jako cₙ₋ₖ = -ślad(A·Mₖ) / k. Każdy element jest najpierw zamieniany na dokładny ułamek, dlatego współczynniki wychodzą jako dokładne liczby całkowite lub ułamki, a nie zaokrąglone wartości dziesiętne.

Przykład (3 × 3)

Dla A = [[2, 0, 0], [0, 3, 4], [0, 4, 9]] ślad wynosi 2 + 3 + 9 = 14, a wyznacznik 2·(3·9 - 4·4) = 22. Wielomian ma postać:

λ³ - 14λ² + 35λ - 22

Rozkłada się na (λ - 1)(λ - 2)(λ - 11), więc wartości własne to 1, 2 i 11. W postaci det(A - λI) przy nieparzystym rozmiarze wszystkie znaki się odwracają: -λ³ + 14λ² - 35λ + 22.

Przykłady (2 × 2)

Macierz A Wielomian charakterystyczny Rzeczywiste wartości własne
[[2, 1], [1, 2]] λ² - 4λ + 3 1 i 3
[[1, 2], [3, 4]] λ² - 5λ - 2 5,372281 i -0,372281
[[2, 1], [0, 2]] λ² - 4λ + 4 2 (krotność 2)
[[0, -1], [1, 0]] λ² + 1 brak (para zespolona)

Czego kalkulator nie robi

  • Obsługuje tylko rozmiary 2 × 2, 3 × 3 i 4 × 4.
  • Elementy mogą mieć do dziewięciu cyfr, a ułamki dziesiętne do sześciu miejsc po przecinku. Zapis naukowy nie jest akceptowany.
  • Wartości własne podawane są jako liczby dziesiętne zaokrąglone do sześciu miejsc, tylko dla macierzy 2 × 2 i 3 × 3 i tylko rzeczywiste. Zespolone wartości własne i wektory własne nie są wyświetlane.

Najczęściej zadawane pytania

Różnią się czynnikiem (-1)ⁿ dla macierzy n × n. Dla macierzy 2 × 2 i 4 × 4 oba wielomiany są identyczne. Dla macierzy 3 × 3 mają przeciwne znaki, a pierwiastki, czyli wartości własne, są takie same. Wiele podręczników używa det(A - λI), natomiast programy komputerowe i niektóre kursy stosują postać unormowaną det(λI - A).

Ponieważ obliczenia są dokładne. Jeśli macierz zawiera ułamki lub liczby dziesiętne, współczynniki są zwykle ułamkami, a zapis 5/6 jest wierniejszy niż 0,8333. Macierze o elementach całkowitych zawsze dają współczynniki całkowite.

Ta strona podaje dokładny wielomian charakterystyczny macierzy 4 × 4, ale nie rozwiązuje równania czwartego stopnia. Aby otrzymać wartości własne, rozłóż wielomian na czynniki samodzielnie lub użyj programu do szukania pierwiastków. Dla macierzy 2 × 2 i 3 × 3 rzeczywiste wartości własne są wypisane od razu.

Jest wypisana raz razem z krotnością, na przykład λ = 2 (krotność 2) dla macierzy [[2, 1], [0, 2]], której wielomian to (λ - 2)².

Nie. Macierze podobne, takie jak A i P⁻¹AP, mają ten sam wielomian charakterystyczny, dlatego jest on dobrą cechą przekształcenia liniowego. Dwie macierze o tym samym wielomianie nie zawsze są jednak podobne.

Nie. Wpisane elementy są wysyłane na nasz serwer, aby obliczyć wynik, i są dodawane do adresu strony podczas przechodzenia między krokami, dzięki czemu obliczenie można dodać do zakładek lub udostępnić. Nie są zapisywane na żadnym koncie ani w profilu.

Powiązane narzędzia

Kalkulator numerologii imienia i nazwiska

Oblicz liczbę przeznaczenia i liczbę ekspresji z pełnego imienia i nazwiska metodą numerologii pitagorejskiej, wraz z krótką interpretacją osobowości.

Kalkulator „za ile godzin”

Sprawdź dokładną godzinę, dzień tygodnia i datę za określoną liczbę godzin od teraz, w swojej strefie czasowej i dodatkowo w UTC.

Kalkulator dopasowania imion

Wpisz dwa imiona i zobacz, jak pasują do siebie ich liczby: ekspresja i pragnienie duszy każdego imienia, z każdym krokiem obliczeń. Tylko dla zabawy.

Kalkulator obudowy subwoofera

Oblicz objętość netto obudowy po odjęciu głośnika, wzmocnień i tunelu, znajdź długość tunelu dla częstotliwości strojenia albo wyznacz jeden wymiar.

Kalkulator czasu trwania

Oblicz czas między dwiema godzinami jako HH:MM, godziny dziesiętne, minuty i sekundy.

Kalkulator „ile lat temu”

Znajdź dokładną datę określoną liczbę lat temu od dzisiaj. Cofaj daty wydarzeń, rocznic i zapytań historycznych.

Narzędzie jest dostępne w innych językach