Kalkulator środka ciężkości

Słowo “centroid” oznacza nieco co innego w zależności od tego, od czego zaczynasz. Kalkulator obsługuje trzy najczęstsze przypadki.

Trójkąt

Środek ciężkości trójkąta to średnia jego trzech wierzchołków, a zarazem punkt przecięcia się trzech środkowych. Dla wierzchołków (x1, y1), (x2, y2) i (x3, y3):

Cx = (x1 + x2 + x3) / 3 oraz Cy = (y1 + y2 + y3) / 3

Środek ciężkości leży w jednej trzeciej długości każdej środkowej, licząc od boku. Pole to połowa wartości bezwzględnej iloczynu wektorowego dwóch boków.

Zbiór punktów

Dla zwykłego zbioru punktów środek ciężkości to średnia wartości x i średnia wartości y. Nie ma konturu, więc pole nie jest podawane. To ten sam pomysł, co średnia chmury danych czy środek masy jednakowych mas punktowych.

Wielokąt (wzór Gaussa, shoelace)

Środek ciężkości wielokąta nie jest średnią jego wierzchołków, chyba że jest to trójkąt. Kalkulator przechodzi po krawędziach wzorem Gaussa na pole (shoelace). Gdy A oznacza pole ze znakiem, A = 1/2 * sum(xi * yi+1 - xi+1 * yi), środek ciężkości wynosi:

Cx = 1 / (6A) * sum((xi + xi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Cy = 1 / (6A) * sum((yi + yi+1) * (xi * yi+1 - xi+1 * yi))

Znak A zależy od kierunku, w którym wypisujesz wierzchołki, ale środek ciężkości i podane pole od niego nie zależą. Pole jest zawsze wyświetlane jako liczba dodatnia.

Przykłady

W kalkulatorze separatorem dziesiętnym jest kropka, a nie przecinek, ponieważ przecinek oddziela x od y.

Jakie dane są poprawne

• Każdy wiersz zawiera dokładnie dwie liczby. Jako separatory działają przecinki, średniki, spacje i tabulatory, a nawiasy wokół punktu są ignorowane.
• Wielokąt wymaga co najmniej trzech różnych wierzchołków. Pierwszy wierzchołek możesz powtórzyć na końcu, zostanie on automatycznie pominięty.
• Kontur nie może się przecinać ani stykać sam ze sobą. Motylek czy ósemka nie jest wielokątem prostym, a kalkulator informuje o tym zamiast podawać mylącą liczbę.
• Punkty leżące na jednej prostej nie ograniczają żadnego pola, więc dla trójkąta lub wielokąta nie ma środka ciężkości do podania.
• Do 200 punktów, ze współrzędnymi do miliarda co do wartości. Wyniki są zaokrąglane do sześciu miejsc po przecinku.

Wskazówki

• Środek ciężkości wielokąta wklęsłego może leżeć poza figurą, na przykład w cienkim U lub C. Widać to wyraźnie na wykresie.
• Jeśli środek ciężkości wygląda źle, sprawdź kolejność wierzchołków. Wypisanie narożników zygzakiem zamiast wzdłuż krawędzi sprawia, że kontur się przecina.
• Jednostka nie ma znaczenia dla środka ciężkości: wynik wychodzi w tej jednostce, w której podano współrzędne. Pole jest w tej jednostce do kwadratu.