Softonic

Kalkulator rozwinięcia dwumianu Newtona

Krok 1 / 3 Kalkulator rozwinięcia dwumianu Newtona

Liczba całkowita, ułamek dziesiętny lub ułamek zwykły, np. 3/4. Liczby ujemne są dozwolone.

Dalej

Wpisz współczynnik przy x, drugi składnik i całkowitą potęgę n od 0 do 20, a kalkulator rozwinie (ax + b)^n, albo (ax + by)^n, jeśli drugi składnik ma własną zmienną, za pomocą wzoru dwumianowego Newtona. Otrzymasz pełną postać rozwiniętą, tabelę z każdym wyrazem C(n, k) a^(n-k) b^k, wiersz współczynników dwumianowych oraz wyraz ogólny. Współczynniki mogą być liczbami całkowitymi, dziesiętnymi lub ułamkami, a każdy wynik jest dokładny, więc nawet wysoka potęga nie jest zaokrąglana.

Jak rozwinąć dwumian

  1. 1

    Wpisz a, b i n

    Podaj współczynnik przy x, drugi składnik i potęgę. Możesz użyć liczby całkowitej, ułamka dziesiętnego, np. 0,5, lub ułamka zwykłego, np. 3/4. Wartości ujemne też działają.

  2. 2

    Wybierz drugi składnik

    Wybierz zwykłą liczbę dla (ax + b)^n albo drugą zmienną dla (ax + by)^n.

  3. 3

    Odczytaj rozwinięcie

    Na początku widzisz postać rozwiniętą, a dalej wyraz ogólny, współczynniki dwumianowe i tabelę wszystkich wyrazów wraz z ich współczynnikami.

Jak wzór dwumianowy Newtona buduje każdy wyraz

Wzór dwumianowy Newtona mówi, że dla liczby całkowitej n zachodzi:

(ax + b)^n = C(n, 0) (ax)^n + C(n, 1) (ax)^(n-1) b + ... + C(n, n) b^n

Każdy wyraz jest numerowany przez k, od 0 do n, a wyraz ogólny ma postać C(n, k) a^(n-k) b^k x^(n-k). Przy drugiej zmiennej na końcu dochodzi y^k. Współczynnik dwumianowy to C(n, k) = n! / (k! (n-k)!), czyli liczba sposobów wyboru k elementów spośród n. Kalkulator mnoży C(n, k), a^(n-k) i b^k jako dokładne ułamki, a następnie skraca wynik.

Trójkąt Pascala: współczynniki dla a = b = 1

n Współczynniki dwumianowe C(n, k)
0 1
1 1, 1
2 1, 2, 1
3 1, 3, 3, 1
4 1, 4, 6, 4, 1
5 1, 5, 10, 10, 5, 1
6 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Każda liczba jest sumą dwóch liczb nad nią, a suma każdego wiersza wynosi 2^n.

Przykłady krok po kroku

  • (2x + 3)^4 = 16 x^4 + 96 x^3 + 216 x^2 + 216 x + 81. Sprawdzenie: dla x = 1 mamy 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5^4.
  • (x - 2)^5 = x^5 - 10 x^4 + 40 x^3 - 80 x^2 + 80 x - 32. Ujemne b sprawia, że znaki się naprzemiennie zmieniają.
  • (x/2 + 1)^3 = (1/8) x^3 + (3/4) x^2 + (3/2) x + 1. Ułamki pozostają dokładne i nie zamieniają się w zaokrąglone liczby dziesiętne.

Warto wiedzieć

  • Suma wszystkich współczynników jest równa (a + b)^n, co pozwala szybko sprawdzić rozwinięcie wykonane ręcznie.
  • Jeśli a lub b wynosi 0, niektóre wyrazy znikają. Postać rozwinięta je pomija, a tabela nadal pokazuje je ze współczynnikiem 0.
  • Dla potęgi 0 wynik zawsze wynosi 1.
  • Liczba dziesiętna jest najpierw zamieniana na dokładny ułamek: 0,25 jest odczytywane jako 1/4. Kropka dziesiętna, np. 0.25, też jest akceptowana.
  • Kalkulator obsługuje tylko potęgi całkowite od 0 do 20. Potęgi ułamkowe i ujemne wymagają nieskończonego szeregu dwumianowego, którego to narzędzie nie oblicza.

Najczęściej zadawane pytania

To reguła rozwijania sumy dwóch składników podniesionej do potęgi całkowitej. (a + b)^n jest sumą, dla k od 0 do n, wyrażeń C(n, k) a^(n-k) b^k. Współczynniki dwumianowe C(n, k) to liczby z wiersza n trójkąta Pascala.

Potęga n daje n + 1 wyrazów, po jednym dla każdego k od 0 do n. Tabela pokazuje wszystkie. Gdy a lub b wynosi 0, postać rozwinięta zawiera mniej wyrazów, ponieważ wyrazy zerowe są pomijane.

Tak. Wpisz 3/4, 0,75 lub -2 w polach a i b. Liczby dziesiętne są zamieniane na dokładne ułamki, więc 0,1 jest traktowane jako 1/10, a współczynniki nigdy nie są zaokrąglane.

Rozwinięcie potęgi 20 ma już 21 wyrazów i współczynniki z kilkunastoma, a nawet kilkudziesięcioma cyframi, co mniej więcej odpowiada temu, ile strona może czytelnie pokazać. W tym zakresie kalkulator działa na dokładnych liczbach całkowitych i ułamkach.

Nie. Wpisane wartości są wysyłane na nasz serwer, aby obliczyć rozwinięcie, i są dodawane do adresu strony, gdy przechodzisz między krokami, dzięki czemu wynik można zapisać w zakładkach lub udostępnić. Nie są zapisywane na żadnym koncie ani w profilu.

Powiązane narzędzia

Kalkulator numerologii imienia i nazwiska

Oblicz liczbę przeznaczenia i liczbę ekspresji z pełnego imienia i nazwiska metodą numerologii pitagorejskiej, wraz z krótką interpretacją osobowości.

Kalkulator „za ile godzin”

Sprawdź dokładną godzinę, dzień tygodnia i datę za określoną liczbę godzin od teraz, w swojej strefie czasowej i dodatkowo w UTC.

Kalkulator dopasowania imion

Wpisz dwa imiona i zobacz, jak pasują do siebie ich liczby: ekspresja i pragnienie duszy każdego imienia, z każdym krokiem obliczeń. Tylko dla zabawy.

Kalkulator obudowy subwoofera

Oblicz objętość netto obudowy po odjęciu głośnika, wzmocnień i tunelu, znajdź długość tunelu dla częstotliwości strojenia albo wyznacz jeden wymiar.

Kalkulator czasu trwania

Oblicz czas między dwiema godzinami jako HH:MM, godziny dziesiętne, minuty i sekundy.

Kalkulator „ile lat temu”

Znajdź dokładną datę określoną liczbę lat temu od dzisiaj. Cofaj daty wydarzeń, rocznic i zapytań historycznych.

Narzędzie jest dostępne w innych językach